lim x → 1 + ⁡ x x 2 - 1

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado quer que a gente determine o limite da função x x 2 - 1 quando x tende a 1 pela direita.

Perceba que se aplicarmos o limite diretamente na função, teremos:

1 1 2 - 1 = 1 0

Que é uma indeterminação. Pra fugir dessa indeterminação, nós vamos fatorar a nossa função até que seja possível aplicar o limite.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos analisar nosso limite:

lim x → 1 + ⁡ x x 2 - 1

Perceba que, usando Bháskara em x 2 - 1 , teremos que   x = - 1   e   x = 1 como raízes, então reescreveremos x 2 - 1 =   x + 1 x - 1 .

Substituindo as igualdades lá no limite, temos:

lim x → 1 + ⁡ x x 2 - 1 =   l i m x → 1 + x x + 1 x - 1

Passo 3

Agora vamos analisar o comportamento da função quando x → 1 + .

Aqui, quando x tende a 1 pela direita, o numerado também tende a 1 . Agora no denominador, quando x → 1 + , temos

x - 1 → 0 +

Ou seja, um valor positivo e muito pequeno. E temos:

x + 1 → 2

Ou seja, positivo e finito. Dessa forma, nosso denominador tem o seguinte comportamento:

x + 1 x - 1 → 0 + ⋅ 2 = 0 +

E aí a nossa função vai ficar

x x + 1 x - 1 ≈ 1 0 + → + ∞

Portanto, o nosso resultado é

lim x → 1 + ⁡ x x 2 - 1 =   + ∞

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

lim x → 1 + ⁡ x x 2 - 1 =   + ∞

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