Enunciado

a) Faça o gráfico da função

f x + x - 2 ln ⁡ x   ,   1 ≤ x ≤ 5  

b) Estime a área sob o gráfico de f usando quatro retângulos aproximantes e tomando como pontos amostrais ( i ) as extremidades direitas e ( i i ) os pontos médios. Então, aperfeiçoe sua estimativa utilizando seis retângulos aproximantes. Esboce a curva e os retângulos aproximantes.

c) Aperfeiçoe suas estimativas da parte ( b ) usando oito retângulos.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente fazer o gráfico da função f x + x - 2 ln ⁡ x , no intervalo [ 1 ,   5 ] , e depois estimar a área sob o gráfico usando 4 retângulos aproximantes e tomando como pontos amostrais ( i ) as extremidades direitas e ( i i ) os pontos médios. Em seguida, vamos aperfeiçoar nossa estimativa utilizando 6 e depois 8 retângulos aproximantes.

Pra isso, precisamos lembrar que a área sob a curva pode ser aproximada pelo somatório:

A s =   ∑ i = 1 n   f x i Δ x   = f x 1 + f x 2 + ⋯ + f x 4

Onde Δ x = b - a n , sendo n o número de retângulos aproximantes e [ a ,   b ] nosso intervalo. Então, vamos lá!

Passo 2

Vamos começar esboçando o gráfico da função f x + x - 2 ln ⁡ x :

Observe que as linhas tracejadas estão delimitando nosso intervalo [ 1 ,   5 ] . Agora vamos usar o gráfico para estimar a nossa área, certo?

Passo 3

Precisamos estimar a área usando quatro retângulos. Perceba que da nossa fórmula a = 1 e b = 5 . Dessa forma, temos:

Δ x = 5 - 1 n

Como precisamos de 4 retângulos, temos n = 4 . Daí,

Δ x = 5 - 1 4 = 1

Vamos então considerar os intervalos:

1,2 ; 2,3 ; 3,4 ; 4,5 .  

Passo 4

Vamos resolver o item i) da letra b). Isto é usar como pontos amostrais as extremidades direitas.

Da definição, nós temos que esses pontos são dados por:

x i = 1 + i   Δ x

Dessa forma, para Δ x = 1 , vamos ter   x 1 = 2 ,   x 2 = 3 ,   x 3 = 4 e x 4 = 5 . Então, substituindo na fórmula, ficamos com:

A s =   ∑ i = 1 n   f x i Δ x   = f x 1 + f x 2 + ⋯ + f x 4  

A s =   f 1 + f 3 + ��� + f 5  

Olhando no gráfico, vamos extrair os f ( x i ) em cada ponto:

= 0,61 + 0,8 + 1,23 + 1,78

= 4,42

Que corresponde à área referente aos retângulos abaixo:

Passo 5

Agora, vamos usar os pontos médios dos intervalos 1,2 ; 2,3 ; 3,4 ; 4,5 . Ou seja:

x 1 = 1,5 ;   x 2 = 2,5 ;   x 3 = 3,5 ;   x 4 = 4,5

Desenhando os retângulos, temos:

Substituindo na x 1 ,   x 2 ,   x 3 e x 4 na fórmula, temos:

A i =   ∑ i = 1 n   f x i Δ x   = f x 1 + f x 2 + ⋯ + f x 4  

A i =   f 1,5 + f 2,5 + ⋯ + f 4,5

Olhando no gráfico, temos os correspondentes de cada x i :

= 0 ,   70 + 0,66 + 0,99 + 1,49

= 3,84

Passo 6

Agora vamos usar 8 retângulos. Então, nosso Δ x vai mudar porque teremos n = 8 :

Δ x = 5 - 1 8

Δ x = 1 2

Agora vamos definir nossos intervalos:

1 , 3 2   ; 3 2 , 4 2 ; 4 2 , 5 2 5 2 , 6 2 ; 6 2 , 7 2 ; 7 2 , 8 2 ; 8 2 , 9 2 ; 9 2 , 10 2 .  

Beleza, vamos usar como pontos amostrais as extremidades direitas. Então, nossos pontos, dados por x i = 1 + i   Δ x , serão:

x 1 = 3 2 ;     x 2 = 2   ; x 3 = 5 2 ; x 4 = 3   ; x 5 = 7 2 ; x 6 = 4   ; x 7 = 9 2 ; x 8 = 5 .

Daí, substituindo na fórmula, temos:

A s =   ∑ i = 1 n   f x i Δ x   = f x 1 + f x 2 + ⋯ + f x 8  

A s =   f 3 2 + f 2 + ⋯ + f 5  

Olhando no gráfico, obtemos:

= 0,70 + 0,61 + 0,66 + 0,60 + 0,99 + 1,23 + 1,49 +   1,78

Fazendo a soma:

= 8,06

Essa é a área correspondente aos retângulos abaixo:

Passo 7

Agora vamos usar os pontos médios dos intervalos, ou seja, x 1 = 1,25   ; x 2 = 1,75   ; x 3 = 2,25   ; x 4 = 2,75   ; x 5 = 3,25   ; x 5 = 3,75   ; x 6 = 4,25   ; x 7 = 4,75 .

Substituindo isso na fórmula do somatório:

A i =   ∑ i = 1 n   f x i Δ x   = f x 1 + f x 2 + ⋯ + f x 4  

A i =   f 1,25 + f 2,25 + ⋯ + f 4,75

Olhando no gráfico, temos:

= 0 ,   80 + 0,63 + 0,63 + 0,73 + 0,89 + 1,11 + 1,35 + 1,63

= 7,14

Que corresponde a área dos retângulos:

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

G r á f i c o   n o s   p a s s o s

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