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Para o limite

lim x → 0 ⁡ e x - 1 x = 1

ilustre a Definição 2 encontrando os valores de δ que correspondam a ε = 0,5 e ε = 0,1 .

Passo 1

Para ε = 0,5 , a definição de um limite requer que ache um δ tal que

e x - 1 x - 1 < 0,5

O que implica em:

0,5 < e x - 1 x < 1,5 se 0 < x - 0 < δ

Passo 2

Se plotarmos o gráfico de y = 0,5 , y = 1,5 e y = e x - 1 x , vamos achar que:

- 1,59 ≤ x ≤ 0,76

Passo 3

Vemos que a distância até a extremidade esquerda é 0 - ( - 1,59 ) = 1,59 , e a distância até a extremidade direita é 0,76 - 0 = 0,76 .

Podemos escolher δ como o menor desses números, isto é δ = 0,76 . Embora tenhamos escolhido δ = 0,76 , qualquer valor menor positivo de δ também funcionaria.

Passo 4

Para ε = 0,1 , a definição de um limite requer que ache um δ tal que

e x - 1 x - 1 < 0 , 1

O que implica em:

0 , 9 < e x - 1 x < 1 , 1 se 0 < x - 0 < δ

Passo 5

Se plotarmos o gráfico de y = 0 , 9 , y = 1 , 1 e y = e x - 1 x , vamos achar que:

- 0,21 ≤ x ≤ 0,18

Passo 6

Vemos que a distância até a extremidade esquerda é 0 - ( - 0,21 ) = 0,21 , e a distância até a extremidade direita é 0,18 - 0 = 0,18 .

Podemos escolher δ como o menor desses números, isto é δ = 0,18 . Embora tenhamos escolhido δ = 0,18 , qualquer valor menor positivo de

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Mostre por meio de um exemplo que lim x → a ⁡ f ( x ) g ( x ) pode existir mesmo que nem lim x → a ⁡ f ( x ) nem lim x → a ⁡ g x existam.
Se p for um polinômio, moste que lim x → a ⁡ p ( x ) = p ( a )
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Calcule o limite justificando cada passagem com as Propriedades dos Limites que forem usadas. lim t → - 1 ⁡ t 2 + 1 3 ⋅ t + 3 5
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lim x → ∞ ⁡ e - 2 x cos ⁡ x