Enunciado

Para o limite

lim x → 0 ⁡ e 2 x - 1 x = 1

ilustre a Definição 2 encontrando os valores de δ que correspondam a ε = 0,5 e ε = 0,1 .

Passo 1

E aí, pessoal! 😊

Nesse problema queremos ilustrar a definição 2 dessa seção para obter os valores de δ para ε = 0,5 e ε = 0,1 para o limite

lim x → 0 ⁡ e 2 x - 1 x = 1

Tem ideia de como fazemos isso? 😉

A definição 2 é a definição precisa de limite nos diz que

Calma, não se assusta com essa coisa feia!

Na prática, você só precisa dessas duas inequações que aparecem ali dentro da caixinha rosa:

se 0 < x - a < δ então f x - L < ε

Vamos aplicar isso na nossa expressão:

lim x �� 0 ⁡ e 2 x - 1 x = 1

então a = 0 e L = 1 :

se 0 < x - 0 < δ então e 2 x - 1 x - 1 < ε

A estratégia é a seguinte, vamos sempre partir da inequação onde aparece o ε , e vamos mexer nela até aparecer algo parecido com

0 < x - a < δ

Assim vamos definir um δ > 0 que atenda essas condições!

Bora começar! 😁

Passo 2

Para ε = 0,5 , a definição de um limite requer que ache um δ tal que

e 2 x - 1 x - 1 < 0,5

Tirando do módulo:

- 0,5 < e 2 x - 1 x - 1 < 0,5

Somando 1 em tudo:

0,5 < e 2 x - 1 x < 1,5

Se plotarmos o gráfico de y = e 2 x - 1 x e traçarmos 2 retas horizontais y = 0,5 , y = 1,5 conseguirmos enxergar graficamente essa última inequação. Quando que

0,5 < e 2 x - 1 x < 1,5

Vamos estimar que aproximadamente:

- 1,96 ≤ x ≤ - 0,30

Vemos que a distância até a extremidade esquerda é 0 - ( - 1,96 ) = 1,96 , e a distância até a extremidade direita é 0,0 - ( - 0,30 ) = 0,30 .

Podemos escolher δ como o menor desses números, isto é δ = 0,30 . Embora tenhamos escolhido δ = 0,30 , qualquer valor menor positivo de δ também funcionaria.

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Para ε = 0,1 , a definição de um limite requer que ache um δ tal que

e 2 x - 1 x - 1 < 0,1

Tirando do módulo ficamos com:

- 0,1 < e 2 x - 1 x - 1 < 0,1

Somando 1 em tudo:

0,9 < e 2 x - 1 x < 1,1

O que implica em:

0 < x - 0 < δ

Se plotarmos o gráfico de y = 0,9 , y = 1,1 e y = e 2 x - 1 x , vamos achar que:

- 0,94 ≤ x ≤ - 0,67

Vemos que a distância até a extremidade esquerda é 0 - ( - 0,94 ) = 0,94 , e a distância até a extremidade direita é 0 - ( 0,67 ) = 0,67 .

Podemos escolher δ como o menor desses números, isto é δ = 0,67 . Embora tenhamos escolhido δ = 0,67 , qualquer valor menor positivo de   δ também funcionaria.

E fim! Legal, né? Responde Aí! 😎

Resposta

ε = 0,5 → δ = 0,30

ε = 0,1 → δ = 0,67

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