Enunciado

Para o limite x 3 + x + 1 = 3   , use um gráfico para determinar o valor do δ correspondente a ε = 0,4 .

Usando um sistema de computação algébrica para resolver a equação x 3 + x + 1 = 3 + ε , determine o maior valor possível para δ que funcione para qualquer ε > 0 dado.

Tome ε = 0,4 na sua resposta da parte (b) e compare com a sua resposta da parte (a).

Passo 1

Olá, meu amigo, Yuri aqui e eu e você iremos juntos resolvermos essa atividade de limites.

Em todas as alternativas dessa questão aparecem duas variáveis: δ e ε . Você lembra que variáveis são essas?

Isso nos remete a definição de limites, e é também por esse caminho que iremos atuar.

Dizemos que f x   = L , se para qualquer número real positivo ε   , existe um número real positivo δ   tal que, sempre que 0 < x - c < δ , então f x - L < ε .

Essa definição pode ser lida da seguinte forma: para qualquer pequena margem de erro ε que você escolher, existe uma vizinhança δ ao redor de c   tal que, se x   estiver dentro dessa vizinhança, então f x estará dentro da margem de erro de L   .

A alternativa nos pede para encontramos o valor de δ   para um determinado ε = 0,4   .

Então precisamos determinar δ   tal que:

x - 1 < δ → x 3 + x + 1 - 3 < 0.4

Passo 2

a) Com a ajuda do GeoGebra criamos o gráfico da função:

Estamos então interessados na região do ponto 1,3 destacado na figura.

Reescrevendo nossa inequação utilizando os conceitos de limites:

x 3 + x + 1 - 3 < 0.4

Tirando do módulo:

- 0.4 < x 3 + x + 1 - 3 < 0.4

- 0.4 + 3 < x 3 + x + 1 - 3 + 3 < 0.4 + 3

2.6 < x 3 + x + 1 < 3.4

Então, precisamos determinar os valores de x   para os quais a curva y = x 3 +   x   +   1 está entre as linhas y = 2.6 e y = 3.4 . Portanto, nós traçamos as curvas y = x 3 +   x   +   1 , y = 2.6 e y = 3.4 próximas ao ponto 1,3 .

Então usamos o cursor para estimar a coordenada x da interseção da linha y = 2.6 com a curva y = x 3 + x + 1 e, de maneira semelhante, a coordenada x da interseção da linha y = 3.4 com a curva y = x 3 + x + 1 :

x 1 ≈ 0.891

x 2 ≈ 1.093

O intervalo 0.891 ,   1.093 não é simétrico em relação a x = 1 . A distância de x   até o ponto de extremidade esquerdo é 1   -   0.891   =   0.109 , e a distância até o ponto de extremidade direito é 1.093   -   1   =   0.093 . Podemos escolher δ como o menor entre esses números:

δ   =   0.093

Passo 3

b) Utilizando do nosso querido wolfram alpha para resolver essa alternativa, obtemos 3 raízes pois temos uma equação de grau 3, porém neste caso apenas obtemos uma raiz real:

x ε = 216 + 108 ε + 12 336 + 324 ε + 81 ε 2 2 3 - 12 6 216 + 108 ε + 12 336 + 324 ε + 81 ε 2 1 3

A maior valor possível de δ é δ = x ε - 1 .

Passo 4

c) Se ε = 0.4

x ε = 216 + 108 ε + 12 336 + 324 ε + 81 ε 2 2 3 - 12 6 216 + 108 ε + 12 336 + 324 ε + 81 ε 2 1 3 ≈ 1.093272342

δ = x ε - 1 ≈ 0.093

o que concorda com a resposta de (a).

Resposta

δ = x 2 - 1 ≈ 0.093 .

δ = x ε - 1

x ε ≈ 1.093272342 e δ = x ε - 1 ≈ 0.093 , o que concorda com a resposta de (a).

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule o limite justificando cada passagem com as Propriedades dos Limites que forem usadas. lim x → 4 ⁡ ( 5 x 2 - 2 x + 3 )
Calcule o limite justificando cada passagem com as Propriedades dos Limites que forem usadas. lim x → - 1 ⁡ x - 2 x 2 + 4 x - 3
Calcule o limite justificando cada passagem com as Propriedades dos Limites que forem usadas. lim t → - 1 ⁡ t 2 + 1 3 ⋅ t + 3 5
Calcule o limite justificando cada passagem com as Propriedades dos Limites que foremusadas. l i m x → 4 - 16 - x 2
Calcule o limite justificando cada passagem com as Propriedades dos Limites que forem usadas. lim u → - 2 ⁡ u 4 + 3 u + 6