Enunciado

Para o limite:

lim x → 0 ⁡ e x - 1 x = 1

Ilustre a Definição 2 encontrando os valores de δ que correspondam a ε = 0,5 e ε = 0,1 .

Passo 1

O enunciado nos da : lim x → 0 ⁡ e x - 1 x = 1

E pede pra a gente ilustrar a definição a 2 encontrando os valores de δ que correspondam a ε = 0,5 e ε = 1 .

Lembrando que a definição 2 diz que:

Seja f uma função definida sobre algum intervalo aberto que contém o número a , exceto possivelmente no próprio a . Então dizemos que o limite de f ( x ) quando x tende a a é L , e escrevemos:

lim x → a ⁡ f ( x ) = L

Se para todo o número ε > 0 houver um número δ > 0 tal que se 0 < x - a < δ então f x - L < ε .

Para ε = 0,5 , a definição de um limite requer que ache um δ tal que

e x - 1 x - 1 < 0,5

O que implica em:

0,5 < e x - 1 x < 1,5 se 0 < x - 0 < δ

Passo 2

Se plotarmos o gráfico de y = 0,5 , y = 1,5 e y = e x - 1 x , vamos achar que:

- 1,59 ≤ x ≤ 0,76

Passo 3

Vemos que a distância até a extremidade esquerda é 0 - ( - 1,59 ) = 1,59 , e a distância até a extremidade direita é 0,76 - 0 = 0,76 .

Podemos escolher δ como o menor desses números, isto é δ = 0,76 . Embora tenhamos escolhido δ = 0,76 , qualquer valor menor positivo de δ também funcionaria.

Passo 4

Para ε = 0,1 , a definição de um limite requer que ache um δ tal que

e x - 1 x - 1 < 0,1

O que implica em:

0,9 < e x - 1 x < 1,1 se 0 < x - 0 < δ

Passo 5

Se plotarmos o gráfico de y = 0,9 , y = 1,1 e y = e x - 1 x , vamos achar que:

- 0,21 ≤ x ≤ 0,18

Passo 6

Vemos que a distância até a extremidade esquerda é 0 - ( - 0,21 ) = 0,21 , e a distância até a extremidade direita é 0,18 - 0 = 0,18 .

Podemos escolher δ como o menor desses números, isto é δ = 0,18 .

Resposta

Desenvolvimento acima.

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