Enunciado

Escreva as formas de decomposição em frações parciais da função (como no Exemplo 7). Não determine o valor numérico dos coeficientes.

a )   x 4 x 4 - 1

b )   t 4 + t 2 + 1 ( t 2 + 1 ) ( t 2 + 4 ) 2

Letra a)

Passo 1

Nós só vamos ter o trabalho de montar as frações parciais das funções, sem precisar resolvê-las (ufa!). Para a função da letra a) vamos tentar reduzir os termos para facilitar a nossa vida. Assim, vamos somar 1 e subtrair 1 no numerador afim de aparecer uma função semelhante a que está no denominador:

x 4 - 1 + 1 x 4 - 1

Feito isso, podemos perceber que agora o termo x 4 - 1 aparece tanto em cima quanto em baixo. Vamos então colocar ele entre parênteses para facilitar a visualização:

( x 4 - 1 ) + 1 x 4 - 1

Agora vamos colocar cada termo do numerador em uma fração separada:

x 4 - 1 x 4 - 1 +   1 x 4 - 1

1 +   1 x 4 - 1

Pronto! Agora podemos aplicar frações parciais de maneira simples e fácil!

Passo 2

Agora como segundo passo, observamos que o denominador da nossa função é uma expressão matemática redutível, uma diferença de dois quadrados. Sendo assim, vamos expressar como:

1 +   1 ( x 2 + 1 ) ( x 2 - 1 )

Então já podemos aplicar as fraç... ops... PERA AÍ! Ainda existe mais uma expressão redutível na nossa função: ( x 2 - 1 ) . Então vamos lá:

1 +   1 ( x 2 + 1 ) ( x - 1 ) ( x + 1 )

Agora sim, vamos aplicar as frações parciais no nosso segundo termo:

1 +   A ( x + 1 ) +   B ( x - 1 ) +   C x + D ( x 2 + 1 )

Fácil, não é mesmo?

Letra b)

Passo 3

Agora vamos fazer a mesma coisa para a letra b. A função já está pronta pra aplicar frações parciais, apenas devendo tomar cuidado que temos um termo no denominador elevado ao quadrado, ou seja, devemos repetir o termo quantas vezes ele estiver elevado a um expoente n.

O termo ( t 2 + 4 ) 2 aparece elevado ao quadrado, o que significa que devemos repetir ele nas frações parciais o duas vezes aumentando seu expoente até o valor “n”:

t 4 + t 2 + 1 ( t 2 + 1 ) ( t 2 + 4 ) 2 =   A t + B ( t 2 + 1 ) +   C t + D ( t 2 + 4 ) +   E t + F ( t 2 + 4 ) 2

Resposta

a )   1 +   A ( x + 1 ) +   B ( x - 1 ) +   C x + D ( x 2 + 1 )

b )   A t + B ( t 2 + 1 ) +   C t + D ( t 2 + 4 ) +   E t + F ( t 2 + 4 ) 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral. ∫ 0 1 x - 1 x 2 + 3 x + 2 d x
Calcule a integral ∫ 0 1 x - 4 x 2 - 5 x + 6d x
Calcule a integral. ∫ d s s 2 s - 1 2
Calcule a integral. ∫ x 2 - 2 x - 1 x - 1 2 ( x 2 + 1 )d x
Calcule a integral. ∫ 3 4 x 3 - 2 x 2 - 4 x 3 - 2 x 2 d x