∫ d x x 2 - 4

Passo 1

Primeiro vemos que as raízes do denominador são 2 e -2, logo podemos reescrever a equação de forma mais fácil para resolver o problema.

∫ d x ( x - 2 ) ( x + 2 )

Para x diferente de 2 e -2.

Passo 2

Agora vamos para frações parciais, temos que:

1 ( x - 2 ) ( x + 2 ) = A ( x - 2 ) + B ( x + 2 )

Isolando 1, vamos achar

1 = A x + 2 + B ( x - 2 )

Vemos que agora os valores 2 e -2 fazem parte do domínio. Substituindo esses valores na equação acima vamos achar os valores de A e B.

A = 1 4 ;                     B = - 1 4

Agora substituindo os valores de A e B, temos:

1 ( x - 2 ) ( x + 2 ) = 1 4 ( x - 2 ) + - 1 4 ( x + 2 )

Simplificando:

1 ( x - 2 ) ( x + 2 ) = 1 4 1 x - 2 - 1 x + 2

Passo 3

Já resolvemos as frações parciais, agora só falta resolver a integral.

∫ d x ( x - 2 ) ( x + 2 ) = 1 4 ∫ d x x - 2 - ∫ d x x + 2

Ficou fácil agora, basta resolver as integrais, que são bem simples.

∫ d x ( x - 2 ) ( x + 2 ) = 1 4 l n ⁡ | x - 2 | - l n ⁡ | x + 2 |

Resposta

∫ d x x 2 - 4 = 1 4 l n | x - 2 | - l n | x + 2 | + c

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