∫ - 24 x 3 + 30 x 2 + 52 x + 17 9 x 4 - 6 x 3 - 11 x 2 + 4 x + 4 d x

Passo 1

Primeiro vamos arranjar a equação de forma mais conveniente para resolver as frações parcias. Esse passo é feito manipulando as funções, fazendo que ela fique de forma mais agradável para gente, geralmente usamos as raízes para reescrever as equações.

∫ - 24 x 3 + 30 x 2 + 52 x + 17 ( 3 x + 2 ) 2 ( x - 1 ) 4 d x

Passo 2

Agora vamos para frações parciais, temos que:

- 24 x 3 + 30 x 2 + 52 x + 17 ( 3 x + 2 ) 2 ( x - 1 ) 2 = A ( 3 x + 2 ) 2 + B ( 3 x + 2 ) + C ( x - 1 ) 2 + D ( x - 1 )

Isolando   - 24 x 3 + 30 x 2 + 52 x + 17 , vamos achar

- 24 x 3 + 30 x 2 + 52 x + 17 =

= A x - 1 2 + B ( 3 x + 2 ) x - 1 2 + C ( 3 x + 2 ) 2 + D ( 3 x + 2 ) 2 ( x - 1 )

Resolvendo o sistema de equações acima, temos:

A = 1 ;                     B = - 2 ;                   C = 3 ;                         D = - 2

Agora substituindo os valores de A, B, C e D temos:

- 24 x 3 + 30 x 2 + 52 x + 17 ( 3 x + 2 ) 2 ( x - 1 ) 2 = 1 ( 3 x + 2 ) 2 + - 2 ( 3 x + 2 ) + 3 ( x - 1 ) 2 + - 2 ( x - 1 )

Passo 3

Já resolvemos as frações parciais, agora só falta resolver a integral.

∫ - 24 x 3 + 30 x 2 + 52 x + 17 ( 3 x + 2 ) 2 x - 1 2 d x = ∫ 1 ( 3 x + 2 ) 2 d x + ∫ - 2 3 x + 2 d x + ∫ 3 x - 1 2 d x            

+ ∫ - 2 ( x - 1 ) d x

Ficou fácil agora, basta resolver as integrais, que são bem simples.

∫ - 24 x 3 + 30 x 2 + 52 x + 17 ( 3 x + 2 ) 2 x - 1 2 d x = 1 3 17   +   28   x 2   +   x   -   3   x 2 -   6 ln | ⁡ 1 - x | -   2 ln ⁡ | 2   +   3   x |

Resposta

∫ - 24 x 3 + 30 x 2 + 52 x + 17 9 x 4 - 6 x 3 - 11 x 2 + 4 x + 4 d x = 1 3 17   +   28   x 2   +   x   -   3   x 2 -   6 ln | ⁡ 1 - x | -   2 ln ⁡ | 2   +   3   x | + c

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados