Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.3 - Ex. 1
Marque o ponto cujas coordenadas polares são dadas. A seguir, encontre dois outros pares de coordenadas polares desse ponto, um com r > 0 e outro com
(a)
(b)
(c)
Passo 1
Então pessoal, para resolvermos exercícios de coordenadas polares precisamos nos acostumar a escrever os pontos com uma cara nova. No lugar de que usamos normalmente no plano cartesiano vamos substituir pelo raio e o ângulo . Usando esse novo raciocínio estamos prontos para resolver as primeiras questões.
Passo 2
Na letra (a) temos um raio e um ângulo , equivalente a
Conforme pedido pelo exercício podemos escolher outra maneira para representar o ponto. Usando um raio maior que, podemos fazer com que o ângulo fique negativo, ou seja, fazer com que ele “ande” no sentido horário. Sabendo que se andarmos chegaremos na origem. Então é só fazer certo? Chegamos em
O outro par de coordenadas pode ser encontrado usando um raio negativo, isto é, chegando a um ângulo oposto ao que queremos. Andamos então e aí só inverter o raio. A nova coordenada é:
Passo 3
Na letra (b) o raio é e o ângulo é de (pelo sinal já da pra sacar que ele tá andando no sentido horário né). Um jeito fácil de enxergar é pensando nesses ângulos com relação ao eixo, como vemos no desenho.
Já temos uma coordenada com raio positivo e eixo negativo, agora da pra pensar em representar com os dois elementos positivos. Já que representamos o ângulo com relação ao eixo, fica mais fácil visualizar que ele será mais o ângulo em reação ao eixo x, que como mostra na figura é . Nosso primeiro par fica
Para o raio negativo agora tá fácil, sabemos que é só jogar o raio para o lado oposto e aí o ângulo correspondente seria . Então
Passo 4
A letra (c) dá um raio negativo e um ângulo reto de Para colocar em coordenadas cartesianas podemos andar , como mostra a secção de reta rosa, e jogar o raio para o lado oposto, chegando no ponto F.
Como nos exercícios anteriores as duas outras formas possíveis de representar seria com o raio positivo, andando no sentido horário ou com o raio negativo, e aí é só darmos uma volta a mais acrescentando no ângulo chegando em