Enunciado

Marque o ponto cujas coordenadas polares são dadas. A seguir, encontre dois outros pares de coordenadas polares desse ponto, um com r > 0 e outro com r   <   0 .

(a) ( 2 ,   π 3 )

(b) ( 1 ,   - 3 π 4 )

(c) ( - 1 ,   π 2 )

Passo 1

Então pessoal, para resolvermos exercícios de coordenadas polares precisamos nos acostumar a escrever os pontos com uma cara nova. No lugar de “ x ”   e   “ y ” que usamos normalmente no plano cartesiano vamos substituir pelo raio e o ângulo ( r ,   θ ) . Usando esse novo raciocínio estamos prontos para resolver as primeiras questões.

Passo 2

Na letra (a) temos um raio   2 e um ângulo d e   π 3 , equivalente a   60 º :

Conforme pedido pelo exercício podemos escolher outra maneira para representar o ponto. Usando um raio maior que   0 , podemos fazer com que o ângulo fique negativo, ou seja, fazer com que ele “ande” no sentido horário. Sabendo que se andarmos - 2 π chegaremos na origem. Então é só fazer   - 2 π +   π 3 , certo? Chegamos em ( 2 ,   - 5 π 3 ) .

O outro par de coordenadas pode ser encontrado usando um raio negativo, isto é, chegando a um ângulo oposto ao que queremos. Andamos então   π 3 +   π e aí só inverter o raio. A nova coordenada é:   ( - 2 ,   4 π 3 ) .

Passo 3

Na letra (b) o raio é 1   e o ângulo é de - 3 π 4 (pelo sinal já da pra sacar que ele tá andando no sentido horário né). Um jeito fácil de enxergar é pensando nesses ângulos com relação ao eixo, como vemos no desenho.

Já temos uma coordenada com raio positivo e eixo negativo, agora da pra pensar em representar com os dois elementos positivos. Já que representamos o ângulo com relação ao eixo, fica mais fácil visualizar que ele será π   mais o ângulo em reação ao eixo x, que como mostra na figura é π 4 . Nosso primeiro par fica ( 1 ,   5 π 4 ) .

Para o raio negativo agora tá fácil, sabemos que é só jogar o raio para o lado oposto e aí o ângulo correspondente seria π 4 . Então ( - 1 , π 4 ) .

Passo 4

A letra (c) dá um raio negativo e um ângulo reto de 90 º . Para colocar em coordenadas cartesianas podemos andar π 2 , como mostra a secção de reta rosa, e jogar o raio para o lado oposto, chegando no ponto F.

Como nos exercícios anteriores as duas outras formas possíveis de representar seria com o raio positivo, andando   90 º no sentido horário ( 1 , -   π 2 )   ou com o raio negativo, e aí é só darmos uma volta a mais acrescentando 2 π no ângulo chegando em   ( - 1 ,   5 π 2 ) .

Resposta

  1. 1 .   2 ,   - 5 π 3   2 . - 2 ,   4 π 3
  2. 1 .   1 ,     5 π 4   2 . - 1 , π 4
  3. 1 .   1 ,   -   π 2   2 .   ( - 1 ,     5 π / 2 )
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Faça o esboço da equaçãor^2 = 16 c o s theta
Faça o esboço da equaçãor = 2 ( 1 + c o s theta )
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Ache todos os pontos de intercecção dos gráficos das duas curvas dadas. r cos ⁡ θ = 1 r = 1 + 2 c o s θ
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