Enunciado

Marque o ponto cujas coordenadas polares são dadas. A seguir, encontre dois outros pares de coordenadas polares desse ponto, um com r   >   0 e outro com r   <   0 .

  1. 1 ,   7 π 4
  2. - 3 ,   π 6
  3. 1 , - 1  

Passo 1

Olá, meu querido amigo. Vou te ajudar a resolver essa atividade hoje.

Aqui a gente tem 3 pontos:

1 ,   7 π 4

- 3 ,   π 6

1 , - 1

E devemos marcar esses pontos no plano polar. Devemos também procurar pares desses pontos, isso é, pontos opostos a esse, onde o raio será r > 0 e r < 0 .

Sabemos que podemos nos mover no círculo trigonométrico no sentido horário e no sentido anti-horário, e é com essa ideia que iremos representar os pontos com os raios opostos, veja que as coordenadas:

r ,   θ + 2 n π

E

r ,   θ

São os mesmos pontos, agora também podemos fazer:

- r ,   θ + 2 n + 1 π

Então pessoal, primeiramente devemos lembrar que as coordenadas polares têm o seguinte formato:

( r   ,   θ )

Ou seja, a primeira coordenada se refere ao raio e a segunda ao ângulo em relação a um referencial (em geral, o eixo x ).

Voce pode visualizar melhor como é a relação entre as coordenadas polares e cartesianas, como também sua representação.

Então deveremos utilizar o GeoGebra para colocarmos os pontos que precisamos nos eixos corretos, mas veja que você deve principalmente entender o significado dessa coordenada em relação as coordenadas cartesianas.

O ponto é um local no plano cartesiano representado por sua localização em x e em y , ao colocarmos em coordenadas polares estamos representando esse mesmo local com a distância r da origem e o ângulo que esse r faz com a horizontal.

Passo 2

Então na letra (a) que temos raio 1 e ângulo de 7 π 4 , equivalente a 315 º   .

Perceba que podemos escrever o ângulo como 45 º em relação ao eixo “ y ” no 4 º quadrante, chegando ao mesmo ponto. Logo outra maneira de representar seria   ( 1 , - π 4   ) .

A segunda forma seria deixando o raio negativo e para isso é só inverter o ângulo para o quadrante oposto, ou seja, se o ângulo está a 45 º do eixo   y no 4 º quadrante, o colocamos também a esse ângulo com relação ao mesmo eixo no 2 º quadrante.

Então o mesmo ponto seria representado por ( - 1 ,   3 π 4 ) .

Na letra (b) temos ( - 3 ,   π 6 ) . O raio é   3 , porém como é negativo iremos calcular no ângulo de   30 º e inverter o raio, ficando com:

Encontrando o outro ângulo podemos deixar o raio positivo e somar π ao ângulo dado, ficando ( 3 ,   7 π 6 ) .   Para outra representação é só usar o raio negativo, somando 2 π ao ângulo dado no exercício ( - 3 ,   13 π 6 ) .

Passo 3

Na letra (c) temos raio 1   e um ângulo de   1 rad, diferente do que estamos acostumados a ver (os múltiplos de π ). Mas não vamos pular o exercício só por isso. Podemos converter para graus, se achar que isso é um problema. Usando a comparação que   1 π rad equivale a 180 º chegamos em um ângulo próximo a   57,3 º ,   e aí a representação nas coordenadas polares fica:

Procurando os outros dois meios de representar achamos o ângulo positivo, que observando na figura seria 2 π - 1 , ficando ( 1 ,   2 π - 1 ) ou representando com o raio negativo, isto é, invertendo o ângulo usando a mesma relação com o eixo   y   ( - 1 ,   π 2 + 1 ) .

Resposta

  1. 1 .   1 ,   - π 4       2 . ( - 1 ,   3 π 4 )
  2. 1 .   3 ,   7 π 6       2 . ( - 3 ,   13 π 6 )
  3. 1 .   1 ,   2 π - 1       2 .   ( - 1 ,   π 2 + 1 )
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Ache a área de intersecção das regiões limitadas pelos gráficos das duas equações r = a c o s θ e r = a ( 1 - c o s θ ) , a0.
Ache a área limitada por (a) o laço da limaçon r = 4 ( 1 + 2 c o s θ ) e (b) a parte externa da limaçon.
Ache a área da região interior ao gráfico de r = 2 as e n θ e exterior ao gráfico de r = a .
Ache a área da região interior ao gráfico da lemniscata r 2 = 2 s e n 2 θ e exterior ao gráfico de r = 1 .
r = 2 2 - s e n θ . (a) ache a excentricidade; (b) identifique a cônica; (c) escreva a equação da diretriz que corresponde ao foco na origem; (d) faça um esboço da curva.