Enunciado

62. Max-min. O arco y = s e n   x ,   0 ≤ x ≤ π gira em torno da reta y = c ,   0 ≤ c ≤ 1 , para gerar o sólido da figura a seguir.

a. Determine o valor de c que minimiza o volume do sólido. Qual é o volume mínimo?

b. Que valor de c em [ 0,1 ] maximiza o volume do sólido?

c. Desenhe o gráfico do volume do sólido em função de c , primeiro para 0 ≤ c ≤ 1 e depois em um domínio maior. O que acontece com o volume do sólido quando c se afasta de [ 0,1 ] ? Isso faz sentido fisicamente? Justifique sua resposta.

Passo 1

a) Então pessoal, de ínicio o que precisamos fazer é determinar o volume desse trem aí! Como a revolução ocorre em torno da reta y = c , então chegaremos em uma expressão do volume em função de c com cerveja! Para calcularmos o volume disso, basta utilizarmos a expressão que o George nos cede na seção 5.4, se liga:

V = ∫ a b π R x 2 d x

Mas quem é esse termo R x ? Esse termo é a função raio do sólido, gente! Como c não está na origem como comumente aparece, galera, então nosso raio será o seguinte:

R x = c - s e n   x

Note que o módulo tem que ser colocado porque não sabemos o valor de c e aí colocando o módulo, independentemente do valor que seja, não mudaria em nada nosso cálculo, tudo bem? Sendo assim, nossa integral será:

V = ∫ 0 π π c - s e n   x 2 d x

Aqui vale ressaltar que o módulo some por conta do quadrado e o intervalo de integração é 0 ,   π , assim como enfatizado pela figura, ok?!

Passo 2

Agora que temos uma integral bonitinha para ser resolvida, então vamos resolve-la uaaai! Reescrevendo a integral para facilitar nossa vida, teremos:

V = π ∫ 0 π c ² d x - 2 π ∫ 0 π c . s e n   x d x + π ∫ 0 π s e n ² x d x

Para essa segunda integral, qual é a função que derivamos e resulta em -   s e n   x ? Sim, a resposta é cos ⁡ x , não é mesmo? Ademais, o resultado da terceira integral também é tabelado e é esse aqui:

∫ s e n ² x d x = x 2 - s e n   2 x 4

Sendo assim, nosso volume será:

V = π c 2 x π 0 + 2 π c cos ⁡ x π 0 + π x 2 - s e n   2 x 4 π 0

∴ V ( c ) = c 2 π 2 - 4 π c + π 2 2

Passo 3

Agora que encontramos uma expressão para o volume, o que devemos fazer é derivar essa função e igualar a zero para descobrirmos os pontos críticos da função e, portanto, o valor de c que minimiza o volume do sólido. Fazendo isso, teremos:

d v d c = 2 c π 2 - 4 π = 0

2 c π 2 = 4 π

∴ c = 2 π

Esse ponto c é um ponto crítico! Substituindo esse ponto na função original, teremos:

V 2 π = 2 π 2 . π 2 - 4 π . 2 π + π 2 2

∴ V 2 π = 4 - 8 + π 2 2 = π 2 2 - 4

Dessa forma, podemos concluir que o valor de volume que encontramos é o volume mínimo e o valor de c que encontramos é o valor que minimiza o volume do sólido.

Passo 4

b) Para descobrirmos isso, vamos escrever o volume para os dois pontos extremos dado pela questão, que são 0 e 1 , se liga:

V 0 = 0 - 0 + π 2 2

∴ V 0 = π 2 2

V 1 = π 2 - 4 π + π 2 2

∴ V 1 = π π - 4 + π 2

Os resultados nos levam a concluir que c = 0 maximiza o volume do sólido, uma vez que é o máximo absoluto da função.

Passo 5

c) Se plotarmos o gráfico da função V c = c 2 π 2 - 4 π c + π 2 2 , teremos o seguinte:

Quando esse gráfico é extendido para intervalos maiores que [ 0,1 ] , o que notamos é uma explosão de volume! Esse tipo de coisa não é explicado fisicamente, até porque o próprio gráfico é um gráfico complexo. Sendo assim, a conclusão é que não faz sentido fisicamente.

Resposta

a) c = 2 π

V 2 π = π 2 2 - 4

b) c = 0

c) Não faz sentido fisicamente.

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Veja a figura e encontre o volume gerado pela rotação da região ao redor da reta especificada: R 1 em torno de O C
Veja a figura e encontre o volume gerado pela rotação da região ao redor da reta especificada: R 1 em torno de A B .
Veja a figura e encontre o volume gerado pela rotação da região ao redor da reta especificada: R 2 em torno de O C .
Veja a figura e encontre o volume gerado pela rotação da região ao redor da reta especificada: R 1 em torno de B C .
Veja a figura e encontre o volume gerado pela rotação da região ao redor da reta especificada: R 3 em torno de O A .