Enunciado

Minimizando a inércia polar Uma placa fina de densidade constante deve ocupar a regiao triangular no primeiro quadrante do plano xy que tem vertices (0, 0), (a, 0) e (a, 1/a). Qual valor de a ira minimizar o momento de inercia polar da placa em relacao a origem?

Passo 1

Faaaaalaaa meus abençoados, tudo blz?

Para achar o valor de [a] que vai minimizar o momento de inércia polar da placa, vamos ter que ,

I 0 a =   ∫ 0 a ∫ 0 x a 2 x 2 + y 2 d y d x =   ∫ 0 a x 2 y + y 3 3   0 x a 2 d x =   ∫ 0 a x 3 a 2 + x 3 3 a 6 d x  

= x 4 4 a 2 + x 4 12 a 6 0 a = a 2 4 + 1 12 a - 2

Assim,

I 0 ' a = 1 2 a - 1 6 a - 3 = 0 → a 4 = 1 3   →   a = 1 3 4 → a = 1 3 4

Passo 2

Assim desde que ,

I ' 0 a = 1 2 + 1 2 a - 4 > 0  

O valor vai fornecer um mínimo para os momentos de inércia I 0 ' a

Resposta

I ' 0 a = 1 2 + 1 2 a - 4 > 0  

O valor vai fornecer um mínimo para os momentos de inércia I 0 ' a

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