Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1 - Capítulo 5.10 - Ex. 24

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Mostre que:

(a) d d y ∫ x a f ( t ) d t = - f ( x )

(b) d d y ∫ g ( x ) a f ( t ) d t = - f g x g ' ( x )

Passo 1

(a) Pelo Teorema Fundamental do Cálculo:

d d x ∫ a g x f t d t = f g x g ' ( x )

Só que podemos inverter os limites de integração, multiplicando a inegral por - 1 :

d d y ∫ x a f ( t ) d t = d d y - ∫ a x f ( t ) d t

d d y ∫ x a f ( t ) d t = - d d y ∫ a x f ( t ) d t

Então:

- d d y ∫ a x f t d t = - f x x ' = - f ( x )

Passo 2

(b) Vamos usar o Teorema Fundamental do Cáclulo de novo:

d d y ∫ g ( x ) a f ( t ) d t = - d d y ∫ a g ( x ) f ( t ) d t

Com isso:

- d d y ∫ a g x f t d t = - f g x g ' x

Resposta

Provado no passo a passo.

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