Enunciado

A área S de um quadrado de lado x é dada por S = x 2 . Achar o acréscimo e a diferencial desta função e determinar o valor geométrico desta última.

Passo 1

Se temos um quadrado de lado que vale x , sua área S valerá simplesmente S = x 2 . Mas, se a esse lado x for adicionado um acréscimo ∆ x , o quanto em acréscimo ∆ S será adicionado à área do quadrado?

Desenvolvemos o seguinte cálculo:

S   +   Δ S   =   ( x   +   Δ x ) ²

S   +   Δ S   =   x ²   +   2 x . Δ x   +   ( Δ x ) ²

S   +   Δ S   =   S   +   2 x . Δ x   +   ( Δ x ) ²

Δ S   =   2 x . Δ x   +   ( Δ x ) ²

Passo 2

Quando o acréscimo Δ x tende a zero ( Δ x → 0 ), temos um acréscimo de área Δ S que vale:

∴ Δ S ≈ 2 x . Δ x

A diferencial, nesse caso, é o acréscimo infinitesimal, d S , para a área do quadrado. Ele tem o mesmo valor do acrésimo Δ S , mas considerando d x em vez de Δ x , que é a variação infinitesimal no valor de x , lado do quadrado. Temos:

d S = S ' ( x ) ∙ d x

∴ d S = 2 x ∙ d x

Por fim, temos que o valor geométrico dessa diferencial é o de uma reta, por estar correlacionado a uma função de primeiro grau.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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