Enunciado

  1. Mostre que cos (x^2) >= cos x para 0 <= x <= 1 .
  2. Deduza que int_0^(pi // 6) cos ( x^2 ) d x >= 1 // 2 .

Passo 1

E aí, pessoal!

Nesse problema temos que mostrar que cos (x^2) >= cos x em 0 <= x <= 1 e tambem temos que mostrar que int_0^(pi // 6) cos ( x^2 ) d x >= 1 // 2 .

Tem ideia de como fazemos isso?

Veja só!

Passo 2

Para o intervalo 0 <= x <= 1 nós temos que

cos (x^2) >= cos x

Como a fórmula do cosseno é (c a t e t o a d j a c e n t e)/(h i p o t e n u s a) , e a hipotenusa é maior que o cateto, elevando essa fórmula ao quadrado temos um número cada vez menor, então:

x >= x ²

Como f ( x ) é uma função decrescente em [ 0,1 ] , cos (x^2) >= cos x .

Show?

Passo 3

Para o item b), temos que (pi)/(6) < 1 , então, usando nossa demonstração da parte (a), temos que cos (x^2) >= cos x em [0 , (pi)/(6)] .

Portanto

int_0^((pi)/(6)) cos (x^2) d x >= int_0^((pi)/(6)) cos x d x

int_0^((pi)/(6)) cos (x^2) d x >= [sen x]_0^((pi)/(6))

int_0^(pi // 6) cos ( x^2 ) d x >= sen ((pi)/(6)) - sen 0 = (1)/(2) - 0

int_0^(pi // 6) cos ( x^2 ) d x >= (1)/(2)

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

cos (x^2) >= cos x

int_0^(pi // 6) cos ( x^2 ) d x >= (1)/(2)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Seria bom se as médias dos valores das funções integráveis obedecessem às regras a seguir em um intervalo [ a ,b ] . Será que essas regras são válidas? Justifique sua resposta.c. M é d i a ( f ) ≤ M é
Use as regras na Tabela 5.4 e as Equações 1-3 para calcular as integrais dos Exercícios 41-50.48. ∫ 1 2 1 24 u ² d u ²
Use as regras na Tabela 5.4 e as Equações 1-3 para calcular as integrais dos Exercícios 41-50.41. ∫ 2 1 1 + z 2 d z
Que valores de a e b maximizam o valor de:int_a^b ( x - x^2 ) d x
Use as regras na Tabela 5.4 e as Equações 1-3 para calcular as integrais dos Exercícios 41-50.49. ∫ 0 2 ( 3 x 2 + x - 5 ) d x