Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.2 - Ex. 18
Mostre que a equação tem exatamente uma raiz real.
Passo 1
Fala aí! Vamos mostrar juntos que essa função tem apenas uma raiz real, ok?
Pra isso podemos usar o Teorema do Valor Intermediário, ok?
Mas como se usa esse teorema? Bom, a gente começa encontrando o , vamos lá!
Então temos que , estamos indo bem… Agora precisamos achar o :
E agora nós provamos que … Show! Nós temos uma função que é a soma do polinômio e do escalar múltiplo da função trigonométrica , então é contínua e derivável para todo .
Com isso, pelo Teorema do Valor Intermediário temos que existe um número entre tal que . E isso prova que função dada pra gente, tem pelo menos uma raiz real.
Passo 2
Ainda não acabou! Agora a gente precisa provar que a nossa função não tem outra raiz real, ok? Para isso, vamos usar outro teorema! O Teorema de Rolle, usando um argumento por contradição… É assim, se liga, se tivermos duas raízes e com . Então:
E sendo derivável no intervalo e contínua em , pelo Teorema de Rolle, tem que existir um número , que está entre e que … Agora vamos ver se essa parte é verdade derivando nossa função:
Como nosso cosseno se comporta assim:
Não vai dar zero! Isso significa que existe uma contradição aí! Isso mostra que a equação não pode ter duas raízes reais diferentes, consequentemente, há exatamente uma raiz real!
Show de bola! Conseguimos provar!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
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