Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart - Capítulo 4.2 - Ex. 18
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Mostre que a equação tem exatamente uma raiz real.
Passo 1
Primeiro, usamos o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz. Precisamos achar dois pontos em que f(x) mude seu sinal. Vamos lá!
Quando a função será maior que 0 ou positiva? Bom, a exponencial nunca será negativa, então dependemos do valor da potência. Analisando, temos que . Logo,
E menos que 0?
Então já sabemos que ela tem uma raiz real em .
Caso ela tenha duas raízes, deve ser contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b). Existe um teorema que explica isso, o Teorema de Rolle. Nos diz que existe um número r em (a, b) tal que .
Então, vamos testar...
Como deve ser , então não é possível pois a potência nunca será negativa. Sendo assim, não possui duas raízes reais distintas.
Resposta
Ela tem uma raiz real em
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