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Mostre que a equação tem exatamente uma raiz real.

x 3 + e x = 0

Passo 1

Primeiro, usamos o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz. Precisamos achar dois pontos em que f(x) mude seu sinal. Vamos lá!

Quando a função será maior que 0 ou positiva? Bom, a exponencial nunca será negativa, então dependemos do valor da potência. Analisando, temos que x 3 ≥ 0 . Logo,

f x = x 3 + e x

f 0 = 0 + e 0

f 0 = 1

E menos que 0?

f - 1 = ( - 1 ) 3 + e - 1

f - 1 = - 1 + e - 1

Então já sabemos que ela tem uma raiz real em ( - 1 , 0 ) .

Caso ela tenha duas raízes, deve ser contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b). Existe um teorema que explica isso, o Teorema de Rolle. Nos diz que existe um número r em (a, b) tal que f ' r = 0 .

Então, vamos testar...

f ' x = x 3 + e x

f ' x = 3 x 2 + e x

Como deve ser f ' r = 0 , então não é possível pois a potência nunca será negativa. Sendo assim, não possui duas raízes reais distintas.

Resposta

Ela tem uma raiz real em ( - 1,0 )

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