Mostre que a equação tem exatamente uma raiz real.
Passo 1
Oi meus queridos.
Nessa questão temos a seguinte equação:
E queremos provar que ela só possui uma raiz real.
Para isso, vamos usar o TVI (Teorema do Valor Intermediário).
Lembre-se que o Teorema do Valor Intermediário (TVI) nos diz que se é contínua e , então existe com .
Confuso, né?? Deixa eu tentar te explicar de forma mais simples...
Como a nossa função é contínua, podemos usa-lo e dizer que se tem um valor da função
E um valor da função onde:
Então certamente tem um valor , onde a função é igual a zero:
Dessa forma, precisamos encontrar onde a função inverte de sinal, ou seja, vai ser uma boa fazer um estudo de sinais da nossa função.
Bora lá!! 😉
Passo 2
Nossa função é dada pela soma de dois termos:
Aplicando a derivada, obtemos:
Note que, para qualquer valor de , teremos que e que, também, sempre!
Com isso, podemos dizer que a função é positiva para qualquer valor de , ou seja:
Observação: Note que se , então podemos concluir que é estritamente crescente!!
Tranquilinho até aí?
Passo 3
Agora, vamos achar dois pontos com sinais opostos:
Vamos começar com :
E, para :
Lembre-se que o Teorema do Valor Intermediário (TVI) nos diz que se é contínua (como no nosso caso) e , então existe com .
Com isso, analisando o que acabamos de fazer, podemos dizer que existe pelo menos uma raiz no intervalo .
E lembra que é estritamente crescente??
Isso significa que ela não pode cruzar o zero mais de uma vez. Portanto, a raiz que encontramos é a única!!!
Entendeu direitinho?? Responde aee 😉
Resposta
De acordo com o TVI, a equação dada só possui uma raiz real.