Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.2 - Ex. 20
Mostre que a equação tem exatamente uma raiz real.
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente mostrar que a equação dada tem exatamente uma raiz real. Isso quer dizer que precisamos mostrar que existe apenas um valor que faz a nossa equação zerar.
Pra isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI), que nos diz que:
Sendo uma função contínua no intervalo e qualquer valor entre e , então existe um número em tal que .
Tá, mas como isso nos ajuda? Isso garante que para um (valor que zera a função), existe um número , e esse número vai ser justamente a nossa raiz.
A gente só precisa encontrar um intervalo onde exista. Como ele é uma raiz da nossa função, significa que essa função passa pelo eixo . E antes de passar, a função tinha um sinal, depois ela zera (no eixo) e passa a ter outro sinal.
Beleza, então só precisamos encontrar um intervalo onde haja essa mudança de sinal, para garantir que a nossa raiz tá ali dentro, sacou?
Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, precisamos achar dois pontos em que mude seu sinal. Vamos começar verificando o que acontece em :
Agora para , vamos ter:
Como a exponencial é sempre positiva, o sinal da nossa função depende do valor que ela vai assumir em . Repare que para temos um resultado negativo. E antes disso, nós vimos que para , temos um resultado positivo.
Isso indica que ocorreu uma mudança de sinal na função e que, para isso, ela passou pelo eixo . Como a nossa função é contínua, o TVI nos garante que realmente existe uma raiz nesse intervalo .
Passo 3
Beleza, provamos que ela tem uma raiz, mas e se ela tiver mais raízes? Bom, para mostrar que existe apenas uma raiz vamos analisar a derivada da função:
Essa derivada é sempre positiva, porque vai dar sempre um número positivo e também é sempre uma função positiva. Isso implica que é crescente em todo seu domínio. Portanto, não pode cortar o eixo mais de uma vez, pois isso implicaria em mais de uma raiz, o que é contraditório com a análise anterior.
Assim, concluímos que a equação tem exatamente uma raiz real, no intervalo , de acordo com o Teorema do Valor Intermediário.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉
Resposta
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