Mostre que a equação tem exatamente uma raiz real.

x^3 + e^x = 0

Passo 1

Oi meus queridos.

Nessa questão temos a seguinte equação:

x 3 + e x = 0

E queremos provar que ela só possui uma raiz real.

Para isso, vamos usar o TVI (Teorema do Valor Intermediário).

Lembre-se que o Teorema do Valor Intermediário (TVI) nos diz que se f é contínua e f a ⋅ f b < 0 , então existe c ∈ a , b com f c = 0 .

Confuso, né?? Deixa eu tentar te explicar de forma mais simples...

Como a nossa função é contínua, podemos usa-lo e dizer que se tem um valor da função

f a > 0

E um valor da função onde:

f b < 0

Então certamente tem um valor a < c < b , onde a função é igual a zero:

f c = 0

Dessa forma, precisamos encontrar onde a função inverte de sinal, ou seja, vai ser uma boa fazer um estudo de sinais da nossa função.

Bora lá!! 😉

Passo 2

Nossa função é dada pela soma de dois termos:

f x = x 3 + e x

Aplicando a derivada, obtemos:

f ' x = 3 x 2 + e x

Note que, para qualquer valor de x , teremos que 3 x 2 > 0 e que, também, e x > 0 sempre!

Com isso, podemos dizer que a função é positiva para qualquer valor de x , ou seja:

f ' x > 0   ∀   x ∈ R

Observação: Note que se f ' x > 0 , então podemos concluir que f é estritamente crescente!!

Tranquilinho até aí?

Passo 3

Agora, vamos achar dois pontos com sinais opostos:

Vamos começar com x = - 1 :

f - 1 = - 1 3 + e - 1

f - 1 = - 1 + e - 1

f - 1 ≈ - 1 + 0,37 < 0

E, para x = 0 :

f 0 = 0 3 + e 0

f 0 = 1 > 0

Lembre-se que o Teorema do Valor Intermediário (TVI) nos diz que se f é contínua (como no nosso caso) e f a ⋅ f b < 0 , então existe c ∈ a , b com f c = 0 .

Com isso, analisando o que acabamos de fazer, podemos dizer que existe pelo menos uma raiz no intervalo - 1,0 .

E lembra que f é estritamente crescente??

Isso significa que ela não pode cruzar o zero mais de uma vez. Portanto, a raiz que encontramos é a única!!!

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

De acordo com o TVI, a equação dada só possui uma raiz real.

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