Enunciado

Mostre que a equação tem exatamente uma raiz real.

x 3 + e x = 0

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente mostrar que a equação dada tem exatamente uma raiz real. Isso quer dizer que precisamos mostrar que existe apenas um valor que faz a nossa equação zerar.

Pra isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI), que nos diz que:

Sendo f uma função contínua no intervalo [ a ,   b ] e L qualquer valor entre f ( a ) e f ( b ) , então existe um número c em [ a ,   b ] tal que f c = L .

Tá, mas como isso nos ajuda? Isso garante que para um L = 0 (valor que zera a função), existe um número c , e esse número c vai ser justamente a nossa raiz.

A gente só precisa encontrar um intervalo onde c exista. Como ele é uma raiz da nossa função, significa que essa função passa pelo eixo x . E antes de passar, a função tinha um sinal, depois ela zera (no eixo) e passa a ter outro sinal.

Beleza, então só precisamos encontrar um intervalo onde haja essa mudança de sinal, para garantir que a nossa raiz tá ali dentro, sacou?

Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, precisamos achar dois pontos em que f x = x 3 + e x mude seu sinal. Vamos começar verificando o que acontece em x = 0 :

f 0 = 0 + e 0

f 0 = 1

Agora para x = - 1 , vamos ter:

f - 1 = ( - 1 ) 3 + e - 1

f - 1 = - 1 + e - 1

Como a exponencial é sempre positiva, o sinal da nossa função depende do valor que ela vai assumir em x 3 . Repare que para f ( - 1 ) temos um resultado negativo. E antes disso, nós vimos que para f ( 0 ) , temos um resultado positivo.

Isso indica que ocorreu uma mudança de sinal na função e que, para isso, ela passou pelo eixo x . Como a nossa função é contínua, o TVI nos garante que realmente existe uma raiz nesse intervalo ( - 1 ,   0 ) .

Passo 3

Beleza, provamos que ela tem uma raiz, mas e se ela tiver mais raízes? Bom, para mostrar que existe apenas uma raiz vamos analisar a derivada da função:

f ' x = 3 x 2 + e x

Essa derivada é sempre positiva, porque 3 x 2 vai dar sempre um número positivo e e x também é sempre uma função positiva. Isso implica que f ( x ) é crescente em todo seu domínio. Portanto, f ( x ) não pode cortar o eixo x mais de uma vez, pois isso implicaria em mais de uma raiz, o que é contraditório com a análise anterior.

Assim, concluímos que a equação x 3 + e x = 0 tem exatamente uma raiz real, no intervalo ( - 1 ,   0 ) , de acordo com o Teorema do Valor Intermediário.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

E x a t a m e n t e   u m a   r a i z   r e a l   e m   ( - 1,0 )

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