Enunciado

A tabela da a população mundial no século XX

  1. Estime a taxa de crescimento populacional em 1920 e em 1980 fazendo a média das inclinações de duas retas secantes.
  2. Use uma calculadora gráfica ou um computador para achar uma função cúbica (um polinômio de terceiro grau) que modele os dados (veja a seção 1.2).
  3. Utilize o modelo da parte (b) para achar um modelo para a taxa de crescimento populacional no século XX
  4. Use a parte (c) para estimar as taxas de crescimento em 1920 e em 1980. Compare com sua estimativa da parte (a).
  5. Estime a taxa de crescimento em 1985.

Passo 1

  1. Para estimar nesses dois anos, calcularemos dois m ' s consecutivos e tiraremos a média deles, para isso sabemos que
  2. m = f x - f a x - a

    1. Entre 1920 e 1930, temos
    2. m 1 = 2070 - 1860 1930 - 1920 = 210 10 = 21  

      Entre 1920 e 1910, temos

      m 2 = 1860 - 1750 1920 - 1910 = 110 10 = 11

      Tirando a média, ficamos com

      m = m 1 + m 2 2 = 21 + 11 2 = 32 2 = 16   m i l h õ e s / a n o

      m = 16   m i l h õ e s / a n o

    3. Entre 1980 e 1990, temos

    m 1 = 5280 - 4450 1990 - 1980 = 830 10 = 83

    Entre 1980 e 1970, temos

    m 2 = 4450 - 3710 1980 - 1970 = 740 10 = 74

    Tirando a média, ficamos com

    m = m 1 + m 2 2 = 83 + 74 2 = 78,5   m i l h õ e s / a n o

    m = 78,5   m i l h õ e s / a n o

    Passo 2

  3. Utilizando uma calculadora gráfica, de acordo com a seção 1.2, podemos calcular os coeficientes do polinômio do 3º grau que se ajusta aos dados, temos que
  4. P t = a t 3 + b t 2 + c t + d   ( e m   m i l h õ e s )

    Daí, calculando pela calculadora, ficamos com

    a   ≈   0 , 0012937063 ,   b   ≈   - 7 , 061421911 ,   c   ≈   12822 , 97902   e     d   ≈   - 7743770 , 396 .

    Passo 3

  5. Se derivamos P t = a t 3 + b t 2 + c t + d   ( e m   m i l h õ e s )
  6. Teremos o modelo para a taxa de crescimento, daí ficamos com

    P ' t = 3 a t 2 + 2 b t + c

    Onde

    a   ≈   0 , 0012937063 ,   b   ≈   - 7 , 061421911   e   c   ≈   12822 , 97902

    Passo 4

  7. Para estimarmos as taxas em 1920 e em 1980, basta substituirmos t por estes valores na expressão de P ' ( t )
    1. Para 1920
    2. P ' 1920 = 3 ⋅ 0 , 0012937063 ⋅ 1920 2 + 2 ⋅ - 7 , 061421911   ⋅ 1920 + 12822 , 97902

      P ' 1920 ≈ 14,48   m i l h õ e s / a n o

      Anteriormente encontramos m = 16   m i l h õ e s / a n o e estes dois valores são bem próximos.

    3. Para 1980

    P ' 19 80 = 3 ⋅ 0 , 0012937063 ⋅ 19 8 0 2 + 2 ⋅ - 7 , 061421911   ⋅ 19 8 0 + 12822 , 97902

    P ' 1980 ≈ 75,29   m i l h õ e s / a n o  

    Anteriormente encontramos m = 78,5   m i l h õ e s / a n o estes dois valores são bem próximos.

    Passo 5

  8. Podemos calcular a taxa de crescimento nesse ano usando P ' ( 1985 ) . Daí, temos que

P ' 198 5 = 3 ⋅ 0 , 0012937063 ⋅ 198 5 2 + 2 ⋅ - 7 , 061421911   ⋅ 198 5 + 12822 , 97902

P ' 1985 ≈ 15292,4072 - 28033,845 + 12822,97902

P ' 1985 ≈ 81,5   m i l h õ e s / a n o

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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