Mostre que se f for contínua em [-3,4] , então:

∫ 3 - 1 f x d x + ∫ 4 3 f x d x + ∫ - 3 4 f x d x + ∫ - 1 - 3 f x d x = 0  

Passo 1

Uma propriedade muito importante das integrais que precisamos pra resolver essa questão é essa aqui:

∫ a b f x d x = ∫ a c f x d x + ∫ c b f x d x , quaisquer sejam a , b , e c dentro de um intervalo no qual f ( x ) é integrável.

Podemos então mexer nos intervalos de integração das integrais do enunciado pra tentar cancelar a soma no final.

Passo 2

Vamos então separar as integrais dividindo-as nos intervalos [ - 3 , - 1 ] , [ - 1,3 ] e [ 3,4 ] pois esses são os números usados no enunciado.

1 )   ∫ 3 - 1 f x d x = - ∫ - 1 3 f x d x

2 )   ∫ 4 3 f x d x = - ∫ 3 4 f x d x

Nessas duas primeiras apenas invertemos a ordem de integração e multiplicamos a integral por - 1 .

3 ) ∫ - 3 4 f x d x = ∫ - 3 - 1 f x d x + ∫ - 1 4 f x d x = ∫ - 3 - 1 f x d x + ∫ - 1 3 f x d x + ∫ 3 4 f x d x

Aqui separamos em 3 intervalos, usando a propriedade duas vezes.

4 )   ∫ - 1 - 3 f x d x = - ∫ - 3 - 1 f x d x

Passo 3

Agora só precisamos somar tudo:

∫ 3 - 1 f x d x + ∫ 4 3 f x d x + ∫ - 3 4 f x d x + ∫ - 1 - 3 f x d x =  

= - ∫ - 1 3 f x d x - ∫ 3 4 f x d x + ∫ - 3 - 1 f x d x + ∫ - 1 3 f x d x + ∫ 3 4 f x d x - ∫ - 3 - 1 f x d x = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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