Prove a fórmula indicada desta seção.

Fórmula 8 : Dx[cosh^(-1)(u)] = 1/raiz(u^2 - 1) Dx u , u > 1

Passo 1

Temos que:

cosh - 1 ⁡ x = ln ⁡ x + x 2 - 1 ,   x ≥ 1

Se derivarmos o lado direito dessa equação vamos achar a derivada do cosseno hiperbólico.

Para essa derivada temos que ir com bastante calma usando as regras da cadeia direitinho.

Primeiro, vamos trocar x por u x , e para não emborar tudo vamos colocar so u .

cosh - 1 ⁡ u = ln ⁡ u + u 2 - 1 ,   x ≥ 1

Vamos lá:

cosh - 1 ⁡ u ' = ln ⁡ u + u 2 - 1 '

Pela regra da cadeia, e lembrando que

ln ⁡ x ' = 1 x

Teremos:

cosh - 1 ⁡ u ' = 1 u + u 2 - 1 u + u 2 - 1 '

Passo 2

Vamos para a outra parte da derivada

u + u 2 - 1 ' = u ' + u 2 - 1 '

Vamos fazer a derivada daquela raiz separadamente

u 2 - 1 '

Primeiro, vamos escrever essa raiz como potência

u 2 - 1 = u 2 - 1 1 2

Voltando para a derivada

u 2 - 1 ' = u 2 - 1 1 2 ' = 1 2 u 2 - 1 - 1 2 . u 2 - 1 ' = 2 u . u ' 2 u 2 - 1 1 2 = u . u ' u 2 - 1 1 2 .

Então teremos:

u + u 2 - 1 ' = u ' + u 2 - 1 ' = u ' + u . u ' u 2 - 1 1 2 = u ' + u . u ' u 2 - 1

Passo 3

cosh - 1 ⁡ u ' = 1 u + u 2 - 1 u ' + u . u ' u 2 - 1

Podemos colocar o u ' em evidência

cosh - 1 ⁡ u ' = 1 u + u 2 - 1 1 + u u 2 - 1 u '

Igualando os denominadores dentro do parênteses

cosh - 1 ⁡ u ' = 1 u + u 2 - 1 u 2 - 1 + u u 2 - 1 u '

Simplificando u 2 - 1 + u , vamos encontrar

cosh - 1 ⁡ u ' = 1 u 2 - 1 u '

Passo 4

Vamos so ajustar a nomenclatura.

Aquele D x é o mesmo que ao linha, significa derivada. Então, era basicamente isso haha

D x cosh - 1 ⁡ u = 1 u 2 - 1 D x u

A expressão usada para derivar tinha u ≥ 1 , como o u ficou no denominador, ele não pode ser 0

u 2 - 1 = 0 → u = ± 1

Então aquele intervalo fica

u > 1

Como ele pediu para provar

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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