Enunciado

(a) Mostre que J 0 (a função de Bessel de ordem 0 dada no Exemplo 4) satisfaz a equação diferencial

x 2 J 0 ' ' x + x J 0 ' x + x 2 J 0 x = 0

(b) Calcule ∫ 0 1 J 0 ( x ) d x com precisão de três casas decimais.

Passo 1

(a) No exemplo 4 foi mencionado a função de Bessel de ordem 0 como sendo

J 0 x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 2 n n ! 2

Para substituir na equação, vamos ter que derivar duas vezes, então

J 0 ' x = ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n x 2 n - 1 2 2 n n ! 2

J 0 ' ' x = ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n ( 2 n - 1 ) x 2 n - 2 2 2 n n ! 2

Passo 2

Substituindo na equação diferencial

x 2 J 0 ' ' x + x J 0 ' x + x 2 J 0 x =

x 2 ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n ( 2 n - 1 ) x 2 n - 2 2 2 n n ! 2 + x ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n x 2 n - 1 2 2 n n ! 2 + x 2 ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 2 n n ! 2 =

∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n ( 2 n - 1 ) x 2 n 2 2 n n ! 2 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n x 2 n 2 2 n n ! 2 + ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 2 2 2 n n ! 2

Todas as séries começam na potência x 2 , mas para soma-las vamos ter que reindexar a ultima série, substituindo n = k - 1

∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 2 2 2 n n ! 2 = ∑ k = 1 ∞ - 1 k - 1 x 2 k - 1 + 2 2 2 k - 1 k - 1 ! 2

= ∑ k = 1 ∞ - 1 k - 1 x 2 k 2 2 k - 2 k - 1 ! 2

Passo 3

Substituindo de volta na soma

= ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n ( 2 n - 1 ) x 2 n 2 2 n n ! 2 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n x 2 n 2 2 n n ! 2 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 x 2 n 2 2 n - 2 n - 1 ! 2

Juntando as séries

= ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n 2 n - 1 2 2 n n ! 2 + - 1 n 2 n 2 2 n n ! 2 + - 1 n - 1 2 2 n - 2 n - 1 ! 2 x 2 n

Podemos colocar - 1 n em evidencia

= ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n 2 n - 1 2 2 n n ! 2 + 2 n 2 2 n n ! 2 + - 1 - 1 2 2 n - 2 n - 1 ! 2 x 2 n

= ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n 2 n - 1 2 2 n n ! 2 + 2 n 2 2 n n ! 2 - 1 2 2 n - 2 n - 1 ! 2 x 2 n

Nos dois primeiros termos da soma do colchete, podemos colocar quase tudo em evidencia

= ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n 2 2 n n ! 2 ( 2 n - 1 + 1 ) - 1 2 2 n - 2 n - 1 ! 2 x 2 n

= ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n 2 2 2 n n ! 2 - 1 2 2 n - 2 n - 1 ! 2 x 2 n

Agora no primeiro termo, podemos tirar o primeiro termo do fatorial, pra cancelar com o n 2 no numerador

= ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 2 n 2 2 2 n n 2 ( n - 1 ) ! 2 - 1 2 2 n - 2 n - 1 ! 2 x 2 n

= ∑ n = 1 ∞ - 1 n 1 2 2 n - 2 n - 1 ! 2 - 1 2 2 n - 2 n - 1 ! 2 x 2 n

Temos dois termos idênticos subtraindo, então

∑ n = 1 ∞ - 1 n 1 2 2 n - 2 n - 1 ! 2 - 1 2 2 n - 2 n - 1 ! 2 x 2 n = 0

E a função de Bessel de ordem 0 J 0 é solução para a equação

x 2 J 0 ' ' x + x J 0 ' x + x 2 J 0 x = 0

Passo 4

(b)

∫ 0 1 J 0 ( x ) d x = ∫ 0 1 ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 2 n n ! 2 d x

Esquecendo os limites de integração por enquanto

∫ ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 2 n n ! 2 d x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n n ! 2 ∫ x 2 n d x

= ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n n ! 2 x 2 n + 1 2 n + 1  

Então

∫ 0 1 J 0 ( x ) d x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n n ! 2 x 2 n + 1 2 n + 1   0 1

Passo 5

Substituindo x = 0 a série zera, então

∫ 0 1 J 0 ( x ) d x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n n ! 2 ( 2 n + 1 )  

= 1 - 1 2 2 1 3 + 1 2 4 2 2 5 - 1 2 6 6 2 7 + …

= 1 - 1 12 + 1 320 - 1 16128 + …

No quarto termo já temos que

1 16128 = 6,2 × 10 - 5 < 10 - 3

Então esse termo já não afeta a terceira casa decimal, logo

∫ 0 1 J 0 ( x ) d x ≈ 1 - 1 12 + 1 320

∫ 0 1 J 0 ( x ) d x ≈ 0,920

Resposta

(b)

∫ 0 1 J 0 ( x ) d x ≈ 0,920

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