Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.9 - Ex. 33
(a) Mostre que (a função de Bessel de ordem dada no Exemplo 4) satisfaz a equação diferencial
(b) Calcule com precisão de três casas decimais.
Passo 1
(a) No exemplo 4 foi mencionado a função de Bessel de ordem como sendo
Para substituir na equação, vamos ter que derivar duas vezes, então
Passo 2
Substituindo na equação diferencial
Todas as séries começam na potência , mas para soma-las vamos ter que reindexar a ultima série, substituindo
Passo 3
Substituindo de volta na soma
Juntando as séries
Podemos colocar em evidencia
Nos dois primeiros termos da soma do colchete, podemos colocar quase tudo em evidencia
Agora no primeiro termo, podemos tirar o primeiro termo do fatorial, pra cancelar com o no numerador
Temos dois termos idênticos subtraindo, então
E a função de Bessel de ordem é solução para a equação
Passo 4
(b)
Esquecendo os limites de integração por enquanto
Então
Passo 5
Substituindo a série zera, então
No quarto termo já temos que
Então esse termo já não afeta a terceira casa decimal, logo
Resposta
(b)
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