Enunciado

Um tanque retangular com 1125   p ê s 2   de capacidade, de base quadrada, medindo x pés de lado e y pés de profundidade, será construído com a parte superior nivelada com o solo para captar água pluvial. O custo associado ao tanque envolve não apenas o material a ser utilizado, mas também uma taxa de escavação proporcional ao produto x y

a ) Sendo o custo total

C = 5 x 2 + 4 x y + 10 x y  

Que valores de x e y irão minimizá-lo?

b ) Apresente um cenário possível para a função custo do item a

Passo 1

Letra a

Temos que o custo é

C = 5 x 2 + 20 x y + 10 x y  

C = 5 x 2 + 30 x y  

Além disso, ele deu a capacidade do tanque, que é o volume do paralelepido de base quadrada de lado x e de altura do paralelepípedo sendo y . Então:

x 2 y = 1125

Assim,

y = 1125 x 2

O total volume das chapas vai ser

V = 5 x 2 + 30 x 1125 x 2

V = 5 x 2 + 33750 x

Onde x precisa ser maior que 0

x > 0

Ele não pode ser zero porque temos o x no denominador

Passo 2

Para acharmos o valor de mínimo ou máximo, temos que comparar o valor da função nos pontos críticos e nos extremos do intervalo.

Começando por achar os pontos críticos:

V = 5 x 2 + 33750 x

Colocando a fração como potência:

V = 33750 x - 1 + 5 x 2

A espessura é constante, então não interfere na derivada.

Derivando:

V ' = - 33750 x - 2 + 10 x

Fazendo isso igual a 0

- 33750 x - 2 + 10 x = 0

33750 x 2 = 10 x

Cortando o 10 dos dois lados

3375 x 2 = x

x 3 = 3375

x = 15

Passo 3

Vamos achar o valor da função nos pontos críticos e extremos do intervalo:

V = 5 x 2 + 33750 x

Ele só deu a limitação em 0 certo? Quer dizer que a outra limitação é o infinito.

x = 0 → V = 5 0 2 + 33750 0 = ∞

x = 1 5 → V = 5 15 2 + 33750 15 = 3375

x = ∞ → V = 5 ∞ 2 + 33750 ∞ = ∞ + 0 = ∞

O menor dos 3 valores é quando x = 1 5

Então vamos ter

x = 15   p é s

E

y = 1125 15 2 = 1125 225 = 5   p é s

Passo 4

Letra b

O peso depende basicamente do volume das chapas de aço utilizadas.

Se usarmos uma chama de x por y nas laterais e y sendo o lado da base, vamos ter dois volumes, os das 4 chapas na lateral e a da base.

Assim, considerando que cada chapa tem espessura de t , o volume vai ser

V = 4 ∙ x y ∙ t ⏟ L a t e r a l + x 2 ∙ t ⏟ b a s e

V = 4 x y t + x 2 t

O custo depende do volume, do preço por volume e do preço para escavar.

Vamos considerar que o custo para escavar cada p é s 3 de x y seja k . E o custo para produzir cada p é s 3 de aço é m .

O custo de escavação vai ser o volume da caixa vezes k

C e = k   x 2 y

Então teremos

C = m 4 x y t + x 2 t + k ∙ x 2 y

Comparando essa fórmula com a dada no enunciado, vamos ter:

C = 5 x 2 + 4 x y + 10 x y  

Vamos ter

m t = 5

E

k x = 10

Então teremos o custo da produção sendo $ 5 por p é s 2 para cada t de espessura.

O custo de escavar é $ 10 por p é s 2 para cada x de tamanho.

Resposta

Letra a

x = 15   p é s

y = 5   p é s

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