Enunciado

Nos exercícios 9 a 20, determine os pontos nos quais a curva dada tem retas tangentes verticais e horizontais. Faça um esboço do gráfico e mostre essas retas tangentes

11. r = 4 - 2 c o s θ

Passo 1

Como o enunciado nos fala sobre retas tangentes, precisaremos aplicar a seguinte equação, para obtermos as inclinações delas:

t g α = t g θ d r d θ + r d r d θ - r t g θ

Vamos encontrar d r d θ :

d r d θ = 2 s e n θ

Substituindo o resultado e r na equação da inclinação:

t g α = 2 t g θ s e n θ + 4 - 2 c o s θ 2 s e n θ - 4 - 2 c o s θ t g θ

Passo 2

Para conseguirmos encontrar as retas horizontais, vamos igualar o denominador da equação acima a zero, pois a inclinação das retas horizontais é zero:

2 t g θ s e n θ + 4 - 2 c o s θ = 0

Reescrevendo:

2 s e n θ c o s θ s e n θ + 4 - 2 c o s θ = 0

2 s e n 2 θ + 4 c o s θ - 2 c o s 2 θ = 0

Pela relação:

s e n 2 θ + c o s 2 θ = 1

s e n 2 θ = 1 - c o s 2 θ

Escrevemos:

2 1 - c o s 2 θ + 4 c o s θ - 2 c o s 2 θ = 0

2 + 4 c o s θ = 0

c o s θ = - 1 2 → θ = 2 π 3   e   θ = 4 π 3

Podemos obter o valor de r para cada θ . Primeiro para θ = 2 π 3 :

r = 4 - 2 . - 1 2 = 5

E as coordenadas cartesianas serão:

x = 5 c o s 2 π 3 = - 5 2

y = 5 s e n 2 π 3 = 5 3 2

E para θ = 4 π 3

x = 5 c o s 4 π 3 = - 5 2

y = 5 s e n 4 π 3 = - 5 3 2

As retas tangentes horizontais então passarão nos pontos - 5 2 ,   5 3 2 e - 5 2 ,   - 5 3 2 .

Passo 3

Para o caso das retas verticais, precisaremos igualar o denominador da equação da inclinação a zero, pois assim a inclinação tenderia para infinito:

2 s e n θ - 4 - 2 c o s θ t g θ = 0

Reescrevendo:

2 s e n θ - 4 - 2 c o s θ s e n θ c o s θ = 0

2 s e n θ c o s θ - 4 - 2 c o s θ s e n θ = 0

s e n θ 2 c o s θ - 4 - 2 c o s θ = 0

2 c o s θ - 4 - 2 c o s θ = 0

c o s θ = 1 → θ = 0

Agora que temos θ , podemos calcular r:

r = 4 - 2 = 2

E nas coordenadas cartesianas:

x = 2 c o s 0 = 2

y = 2 s e n 0 = 0

Outro valor que satisfaz a nossa equação seria c o s θ = - 1 → θ = π , r então ficaria:

r = 4 + 2 = 6

E nas coordenadas cartesianas:

x = 6 c o s π = - 6

y = 6 s e n π = 0

Então as retas tangentes verticais passarão nos pontos 2 ,   0 e ( - 6 ,   0 ) da curva.

Passo 4

O esboço do gráfico será:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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