Enunciado

Mostre que a reta normal à cicloide (exemplo 1.5 , seção 1.1 ) em um ponto P contém o ponto de tangência no eixo x da circunferência rolante que passa por P .

Passo 1

Pra começar, vamos pegar a parametrização da cicloide:

σ t = a t - a sin ⁡ t   , a - a cos ⁡ t

A gente precisa de informações sobre a reta normal, certo? Antes disso, vamos falar da inclinação da reta tangente. Derivando:

σ ' t = a - a cos ⁡ t   , a sin ⁡ t

Seja t o o valor do parâmetro que define o ponto P , o vetor tangente à σ t nesse ponto será:

v t → = σ ' t o = a - a cos ⁡ t o   ,   a sin ⁡ t o

Passo 2

Beleza, agora pensa comigo, se a circunferência tangencia o eixo x dessa forma:

σ t = a t - a sin ⁡ t   ; a - a cos ⁡ t

As coordenadas, do ponto T de tangência serão:

T t = a t , 0

E os do ponto P serão:

P t = σ t

Sendo assim, a inclinação do vetor P T → em determinado t o será:

P T → = P - T = - a sin ⁡ t o   , a - a cos ⁡ t o  

Se a nossa reta normal tem que passar tanto por P quanto por T , então a inclinação do vetor normal tá na mão:

v n → = - a sin ⁡ t o   , a - a cos ⁡ t o  

Passo 3

Agora a gente junta as informações dos dois passos. Se esses vetores são realmente os vetores normal e tangente, o produto escalar deles deve ser 0 pra qualquer t o . Vamos provar isso:

v t → ∙ v n → = 0

a - a cos ⁡ t o   ,   a sin ⁡ t o ∙ - a sin ⁡ t o   , a - a cos ⁡ t o   = 0

a - a cos ⁡ t o - a sin ⁡ t o + a sin ⁡ t o a - a cos ⁡ t o = 0

Dividindo os dois lados por a - a cos ⁡ t o temos:

- a sin ⁡ t o + a sin ⁡ t o = 0

0 = 0

Resposta

O do vetor que passa pelo ponto de tangência P e pelo ponto T de tangência da circunferência rolante com o eixo x é de fato o vetor diretor da reta normal uma vez que o produto escalar desse vetor com ovetor diretor da reta tangente é nulo.

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