Enunciado

23 . (a) Mostre que ϕ ( t )   =   e 2 t é uma solução de y′ – 2y = 0 e que y = (t) também é solução dessa equação para qualquer valor da constante c.(b) Mostre que ϕ(t) = 1/t é uma solução de y '   +   y 2   = 0 para t > 0, mas que y = (t) não é solução dessa equação, a menos que c = 0 ou c = 1. Note que a equação no item (b) é não linear, enquanto a no item (a) é linear.

Passo 1

Iradoso então galerinha, aqui pra gente poder provar que a função ϕ t = 1 / t   é uma solução da equação diferencial y ' + y 2 = 0 , temos duas opções, podemos substituir ϕ ( t ) na equação diferencial e derivar pra ver se realmente ela respeita a condição, ou podemos encontrar a solução geral integrando os termos

MAAASSS, geralmente derivar é um processo mais fácil que a integrar, por isso vamos tentar esse caminho primeiro pra ver se conseguimos provar a existência da solução.

Passo 2

Temos então a função ϕ t = 1 / t , substituindo na equação diferencial y ' + y 2 = 0 , obtemos

ϕ ' t + ϕ 2 t = 0

1 t ' + 1 t 2 = 0

- 1 t 2 + 1 t 2 = 0 ⇒ 0 = 0

Ai ficou show de bola, conseguimos mostrar que realmente ϕ t = 1 / t   é uma solução da equação diferencial.

Passo 3

Agora, queremos verificar se c ϕ ( t ) também é uma solução da equação diferencial, podemos realizar o mesmo processo de substituição

c ϕ t = c 1 t = c t

( c ϕ t ' + c ϕ t 2 = 0

- c t 2 + c 2 t 2 = 0

E agora, como a gente é malandrão, vamo fazer um ajustezinho ali colocando o 1 t 2 em evidência

- c t 2 + c 2 t 2 = 0

1 t 2 c 2 - c = 0 ⇒ c 2 - c = 0 . t 2

c 2 - c = 0

Agora ta ficando show de bola, acabamos de ver que quando substituímos a solução c ϕ ( t ) , na equação diferencial não linear y ' + y 2 = 0 , chegamos em uma equação no segundo grau, e resolvendo ela

c 2 - c = 0

c c - 1 = 0

c = 1   e   c = 0

Vemos que as soluções são c = 1 e c = 0 , isso quer dizer que a função c ϕ ( t ) vai ser solução da equação diferencial somente quando c assumir esses valores! Show de bolinhas né não!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 ec 2 são constantes). x d 2 y d x 2 + 2 d y d x = 0 ;y = c 1 + c 2 x - 1
Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 ec 2 são constantes). y ' ' = y ;y = cosh ⁡ x+ s e n hx
Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 ec 2 são constantes). y ' ' + y ' - 12 y = 0 ; y = c 1 e 3 x + c 2 e - 4 x
Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 ec 2 são constantes). y ' ' + y ' 2 = 0 ;y = ln ⁡ | x + c 1 | + c 2