Enunciado

23 . (a) Mostre que ϕ ( t )   =   e 2 t é uma solução de y′ – 2y = 0 e que y = (t) também é solução dessa equação para qualquer valor da constante c.(b) Mostre que ϕ(t) = 1/t é uma solução de y '   +   y 2   = 0 para t > 0, mas que y = (t) não é solução dessa equação, a menos que c = 0 ou c = 1. Note que a equação no item (b) é não linear, enquanto a no item (a) é linear.

Passo 1

  1. Esses exercícios de “verifique que a função é solução” , existe dois métodos de provar que estamos certos. Um é realmente integrar e descobrir que ambos os lados são iguais. O outro – para mim o mais fácil – é aplicar a solução na diferencial e derivar. Derivar é sempre mais fácil que integrar

Vamos então agora derivar a função

y = e 2 t

y ' = 2 e 2 t

Logo podemos fazer uma manipulação algébrica

y ' - 2 e 2 t = 0

y ' - 2 y = 0

Prontinho, conseguimos provar. E como toda boa solução de equações diferenciais não podemos esquecer da constante arbitraria. Em funções como a exponencial essa constante aparece multiplicando a função, logo :

y = C e 2 t

y ' = 2 C e 2 t

y ' - 2 y = 0

A equação diferencial continua com o mesmo formato 😊

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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