Enunciado

Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e   c 2 são constantes).

y ' ' + y ' - 12 y = 0 ;     y = c 1 e 3 x + c 2 e - 4 x

Passo 1

E aí, tudo joia?

Bom, a gente quer saber se   y = c 1 e 3 x + c 2 e - 4 x   é solução da equação y ' ' + y ' - 12 y = 0     . Para saber isso, a gente tem que substituir os termos da equação e ver se temos uma igualdade verdadeira.

Já temos y e temos que descobrir y ' e   y ' ' . Vamos derivar então! Vem comigo!

Passo 2

y = c 1 e 3 x + c 2 e - 4 x

Derivando:

y ' = 3 c 1 e 3 x - 4 c 2 e - 4 x

Agora vamos derivar de novo pra encontrar y ' ' :

y ' ' = 9 c 1 e 3 x + 16 c 2 e - 4 x

Beleza! Agora vamos substituir isso tudo na equação!

Passo 3

Substituindo aqui:

y ' ' + y ' - 12 y = 0

9 c 1 e 3 x + 16 c 2 e - 4 x + 3 c 1 e 3 x - 4 c 2 e - 4 x - 12 c 1 e 3 x + c 2 e - 4 x = 0  

9 c 1 e 3 x + 16 c 2 e - 4 x + 3 c 1 e 3 x - 4 c 2 e - 4 x - 12 c 1 e 3 x - 12 c 2 e - 4 x = 0

12 c 1 e 3 x + 12 c 2 e - 4 x - 12 c 1 e 3 x - 12 c 2 e - 4 x = 0

0 = 0

Beleza! Encontramos uma igualdade verdadeira, então a função é solução! 😉

Resposta

É solução.

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Em cada um dos problemas de 1 a 6, determine (sem resolver o problema)
21 . Considere o problema de valor inicial y '   =   y 1 / 3
23 . (a) Mostre que ϕ ( t )   =   e 2 t é uma solução de y′
22. (a) Verifique se ambas as funções   y 1 ( t )   =  
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