Enunciado

  1. A curva y = x 1 + x ²   é denominada serpentina. Encontre uma equação da reta tangente a essa curva no ponto 3 ;   0,3 .
  2. Ilustre a parte (a) fazendo o gráfico da curva e da tangente na mesma tela.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

Antes de mais nada, o enunciado no livro tem um errinho, viu?! Ele esqueceu de colocar a divisão “/” na expressão. Agora bora lá!!

Bom... O enunciado pediu pra gente encontrar a equação da reta tangente à curva y = x 1 + x ² , no ponto ( 3 ;   0,3 ) e fazer o gráfico delas. Pra isso, o primeiro passo é lembrar que a inclinação da reta tangente m t g é obtida pela derivada y ' da função:

m t g = y '

E a equação da reta tangente é dada por:

y - y p = m t g ( x - x p )

Então precisamos achar a derivada da função e substituir na equação junto com o nosso ponto x p ,   y p = ( 3 ;   0,3 ) .

Em seguida, vamos plotar a nossa curva y = x 1 + x ² , junto com a reta tangente que encontrarmos, no gráfico.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar encontrando a derivada da nossa função, que também será o coeficiente angular da nossa reta. Assim, derivando y usando a regra do quociente, temos:

d d x x 1 + x ² = 1 + x ²   d d x x - x d d x ( 1 + x 2 ) ( 1 + x ² ) ²

y ' = 1 + x ² 1 - ( x ) ( 2 x ) ( 1 + x ² ) ²

Simplificando:

y ' = 1 - x ² ( 1 + x ² ) ²

Agora vamos verificar quanto a nossa derivada vale no ponto dado. Pra isso, basta substituir ( 3 ; 0,3 ) em y ' e teremos:

y ' = 1 - 3 2 1 + 3 2 2

y ' = - 8 100 = - 0,08

Passo 3

Agora que já temos o coeficiente angular da nossa reta, basta substituir ele junto com ponto na equação da reta, que vimos no passo 1 :

y - y p = m t g ( x - x p )

E teremos:

y - 0,3 = - 0,08 ( x - 3 )

Isolando y :

y = - 0,08 x + 0,54

E acabamos? Não, ainda não! Falta o gráfico.

Passo 4

Traçando a nossa curva y = x 1 + x ² junto com a reta tangente y = - 0,08 x + 0,54 , teremos o gráfico:

Repare que o ponto A é o nosso ponto de tangência em ( 3 ; 0,3 ) .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y = - 0,08 x + 0,54

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