Enunciado

Mostre que

∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ x 2 + y 2 + z 2   e - x 2 + y 2 + z 2   d x   d y   d z = 2 π

(A integral imprópria tripla é definida como o limite da integral tripla sobre uma esfera sólida quando o raio da esfera aumenta indefinidamente.)

Passo 1

Como dito no enunciado, a integral imprópria tripla é o limite da integral sobre uma esfera com o raio da esfera tendendo ao infinito. Assim, em coordenadas esféricas:

x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2

Portanto,

∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ x 2 + y 2 + z 2   e - x 2 + y 2 + z 2   d x   d y   d z = lim a → ∞ ⁡ ∫ 0 a d ρ ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π ρ 3 e - ρ 2   s e n   ϕ   d ϕ

Passo 2

Vamos calcular primeiro a integral e depois tomar o limite:

∫ 0 a d ρ ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π ρ 3 e - ρ 2   s e n   ϕ   d ϕ = 2 π ∫ 0 a ρ 3 e - ρ 2   d ρ ∫ 0 π s e n   ϕ   d ϕ = 4 π ∫ 0 a ρ 3 e - ρ 2   d ρ

Para calcular essa integral, vamos fazer a mudança de variável t = - ρ 2 , assim d t = - 2 ρ   d ρ . Portanto,

∫ 0 a ρ 3 e - ρ 2   d ρ = 1 2 ∫ 0 - a 2 t   e t   d t

Essa nova integral é resolvida por partes fazendo u = t e d v = e t d t , assim d u = d t e v = e t :

∫ 0 a ρ 3 e - ρ 2   d ρ = 1 2 t e t 0 - a 2 - 1 2 ∫ 0 - a 2 e t   d t = - 1 2 a 2 e - a 2 - 1 2 e - a 2 + 1 2

Assim,

∫ 0 a ρ 3 e - ρ 2   d ρ = 1 2 1 - 1 + a 2 e - a 2

Quando a → ∞ , sabemos que 1 + a 2 e - a 2 → 0 (pode-se usar L’hospital para mostrar isso):

lim x → ∞ ⁡ 1 + x   e - x = lim x → ∞ ⁡ 1 + x e x = lim x → ∞ ⁡ 1 e x = 0

Assim,

lim a → ∞ ⁡ ∫ 0 a d ρ ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π ρ 3 e - ρ 2   s e n   ϕ   d ϕ = lim a → ∞ ⁡ 4 π ⋅ 1 2 1 - 1 + a 2 e - a 2 = 4 π ⋅ 1 2 = 2 π

Portanto,

∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ x 2 + y 2 + z 2   e - x 2 + y 2 + z 2   d x   d y   d z = 2 π

Resposta

Demonstração.

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Identifique a superfície cuja equação é dada. ρ = sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ
Escreva a equação em coordenadas esféricas.(a) x 2 - 2 x + y 2 + z 2 = 0 (b) x + 2 y + 3 z = 1
Marque o ponto cujas coordenadas esféricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto.(a) 1,0 , 0 (b) 2 , π / 3 , π / 4
Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas. ρ ≤ 2 ,0 ≤ ϕ ≤ π / 2 ,0 ≤ θ ≤ π / 2
Mude de coordenadas retangulares para esféricas.(a) 1 , 1 , 2 (b) - 3 , - 3 , - 2