Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.8 - Ex. 48
Mostre que
(A integral imprópria tripla é definida como o limite da integral tripla sobre uma esfera sólida quando o raio da esfera aumenta indefinidamente.)
Passo 1
Como dito no enunciado, a integral imprópria tripla é o limite da integral sobre uma esfera com o raio da esfera tendendo ao infinito. Assim, em coordenadas esféricas:
Portanto,
Passo 2
Vamos calcular primeiro a integral e depois tomar o limite:
Para calcular essa integral, vamos fazer a mudança de variável , assim . Portanto,
Essa nova integral é resolvida por partes fazendo e , assim e :
Assim,
Quando , sabemos que (pode-se usar L’hospital para mostrar isso):
Assim,
Portanto,
Resposta
Demonstração.
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