Enunciado

Mude de coordenadas retangulares para esféricas.

(a) 1 , 1 , 2

(b) - 3 , - 3 , - 2

Passo 1

Show de bola, galera....Pra resolver essa questão não tem mistério.

Basta nos lembrarmos do conceito de coordenadas esféricas para correlacionarmos com os pontos em coordenadas retangulares equivalentes.

As relações entre coordenadas esféricas ρ , ϕ , θ e coordenadas retangulares x , y , z são dadas da seguinte forma:

x = ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ y = ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ z = ρ cos ⁡ ϕ

De maneira inversa, temos que:

ρ = x 2 + y 2 + z 2 cos ⁡ ϕ = z ρ cos ⁡ θ = x ρ sen ⁡ ϕ

Desta forma fica fácil, né? Os nossos pontos ficam da seguinte forma:

(a) 1 , 1 , 2

ρ = x 2 + y 2 + z 2 = 1 + 1 + 2 = 2

cos ⁡ ϕ = z ρ = 2 2 → ∴ ϕ = π 4

cos ⁡ θ = x ρ sen ⁡ ϕ = 1 2 sen ⁡ π 4 = 1 2 → ∴ θ = π 4

1,1 , 2 ↔ 2 , π 4 , π 4

(b) - 3 , - 3 , - 2

ρ = x 2 + y 2 + z 2 = 3 + 9 + 4 = 4

cos ⁡ ϕ = z ρ = - 1 2 → ∴ ϕ = 2 π 3

cos ⁡ θ = x ρ sen ⁡ ϕ = - 3 4 sen ⁡ 2 π 3 = - 1 2 → ∴ θ = 7 π 6 ⏟ p o i s   x   e   y < 0

- 3 , - 3 , - 2 ↔ 4 , 7 π 6 , 2 π 3

Resposta

(a) 1 , 1 , 2 ↔ 2 , π 4 , π 4

(b) - 3 , - 3 , - 2 ↔ 4 , 7 π 6 , 2 π 3

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