Enunciado

  1. Mostre que e x ≥ 1 + x para x ≥ 0 .
  2. Deduza que e x ≥ 1 + x + 1 2 x 2 para x ≥ 0 .
  3. Use a indução matemática para demonstrar que para x ≥ 0 e qualquer inteiro positivo n ,

e x ≥ 1 + x + x 2 2 ! +   · · · + x n n !

Passo 1

  1. Vamos fazer f x = e x - 1 - x e analisar os sinais de f ' ( x ) :
  2. Para x ≥ 0 nós temos:

    f ' ( x ) = e x - 1 - x ' = e x - 0 - x 1 - 1 = e x - 1 ≥ 0

    e x = 1 → x = 0

    f 0 = e 0 - 1 - 0 = 0

    Já que f 0 = 0 e f é crescente em 0 , ∞ :

    f ( x ) ≥ 0 para x ≥ 0 → e x - 1 - x ≥ 0 → e x ≥ 1 + x

    Passo 2

  3. Vamos fazer f x = e x - 1 - x - 1 2 x 2 e analisar os sinais de f ' ( x ) :
  4. Para x ≥ 0 nós temos:

    f ' x = e x - 1 - x - 1 2 x 2 ' = e x - 0 - x 1 - 1 - 1 2 . 2 . x 2 - 1 = e x - 1 - x ≥ 0

    f 0 = e 0 - 1 - 0 - 1 2 0 2 = 0

    Já que f 0 = 0 e f é crescente em 0 , ∞ :

    f ( x ) ≥ 0 para x ≥ 0 → e x - 1 - x - 1 2 x 2 ≥ 0 → e x ≥ 1 + x + 1 2 x 2

    Passo 3

  5. Pela parte (a) o resultado vale para n = 1 , vamos supor que:

e x ≥ 1 + x + x 2 2 ! +   · · · + x k k ! para x ≥ 0

Fazendo:

f x = e x - 1 - x - x 2 2 ! - · · · - x k k ! - x k + 1 k + 1 !

Temos que f ' x é por suposição:

f ' x = e x - 1 - x - · · · - x k k ! ≥ 0

Consequentemente, f ( x ) é crescente em 0 , ∞ , então x ≥ 0 implica que:

0 = f ( 0 ) ≤ f x = e x - 1 - x - · · · - x k k ! - x k + 1 k + 1 !

E, consequentemente:

e x ≥ 1 + x + · · · + x k k ! + x k + 1 k + 1 ! para x ≥ 0

Assim, para x ≥ 0 , e x ≥ 1 + x + x 2 2 ! +   · · · + x n n ! para todo positivo n , pela indução matemárica.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Seja f x = x + e x e seja g a inversa de f . Calcule g ' 1 e g ' ' 1 .
Verifique que. d d x x arctg ⁡ x - 1 2 ln ⁡ 1 + x 2 = arctg ⁡ x
Determine a derivada. f x = e - x arctg ⁡ e x tg ⁡ x
Seja f x = x + x 3 .Mostre que f admite função inversa g Expresse g ' x em termos de g x Calcule g ' 0
Seja f x = x + ln ⁡ x , x0 .Mostre que f admite função inversa g , que g é derivável e que g ' x = g x 1 + g x Esboce os gráficos de f e de g Calcule g 1 , g ' 1 e g ' ' 1