Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.3 - Ex. 81
Suponha que todas as funções sejam duas vezes deriváveis e que as segundas derivadas nunca sejam nulas.
- Se e forem funções positivas, crescentes e côncavas para cima em , mostre que a função produto é côncava para cima em .
- Mostre que a parte (a) permanece verdadeira mesmo que e sejam ambas decrescentes.
- Suponha que seja crescente e , decrescente. Mostre, dando três exemplos, que pode ser côncava para cima, côncava para baixo ou linear. Por que os argumentos usados nas partes (a) e (b) não podem ser usados neste caso?
Passo 1
Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a aresolver essa atividade. Aqui eu e você iremos trabalhar com uma atividade teórica. Temos uma função e suas duas derivadas. Elas não são nulas e a partir disso iremos provar algumas afirmações.
Passo 2
- Como e são positivas, crescentes e côncavas para cima em com e nunca igual a , nós temos que , , , , , em . Assim
- No passo , se e são ambos decrescentes ao invés de crescentes, então e em , então nós ainda temos que
- Supondo crescente e decrescente, com e positivos e côncavos para cima, então e , assim fazendo o argumento da letra (a) e(b) falharem.
Assim, é côncava para cima em .
Passo 3
Assim:
Assim, é côncava para cima em da mesms forma que na letra (a).
Passo 4
Seja :
Exemplo : , , temos que então que , assim e . Assim, é côncavo para cima.
Exemplo : , temos que então que , assim e . Assim, é côncavo para baixo.
Exemplo : , temos que então que , assim é linear.
Resposta
Ver o desenvolvimento.
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