Enunciado

Suponha que todas as funções sejam duas vezes deriváveis e que as segundas derivadas nunca sejam nulas.

  1. Se f e g forem funções positivas, crescentes e côncavas para cima em I , mostre que a função produto f g é côncava para cima em I .
  2. Mostre que a parte (a) permanece verdadeira mesmo que f e g sejam ambas decrescentes.
  3. Suponha que f seja crescente e g , decrescente. Mostre, dando três exemplos, que f g pode ser côncava para cima, côncava para baixo ou linear. Por que os argumentos usados nas partes (a) e (b) não podem ser usados neste caso?

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a aresolver essa atividade. Aqui eu e você iremos trabalhar com uma atividade teórica. Temos uma função e suas duas derivadas. Elas não são nulas e a partir disso iremos provar algumas afirmações.

Passo 2

  1. Como f e g são positivas, crescentes e côncavas para cima em I com f ' ' e g ' ' nunca igual a 0 , nós temos que f > 0 , f ' ≥ 0 , f ' ' > 0 , g > 0 , g ' ≥ 0 , g ' ' > 0 em I . Assim
  2. f g ' = f ' g + f g '

    f g ' ' = f ' ' g + 2 f ' g ' + f g ' ' ≥ f ' ' g + f g ' ' > 0

    Assim, f g é côncava para cima em I .

    Passo 3

  3. No passo 1 , se f e g são ambos decrescentes ao invés de crescentes, então f ' ≤ 0 e g ' ≤ 0 em I , então nós ainda temos que
  4. 2 f ' g ' ≤ 0

    Assim:

    f g ' ' = f ' ' g + 2 f ' g ' + f g ' ' ≥ f ' ' g + f g ' ' > 0

    Assim, f g é côncava para cima em I da mesms forma que na letra (a).

    Passo 4

  5. Supondo f crescente e g decrescente, com f e g positivos e côncavos para cima, então f ' ≥ 0 e g ' ≤ 0 , assim 2 f ' g ' ≤ 0 fazendo o argumento da letra (a) e(b) falharem.

Seja I = 0 , ∞ :

Exemplo 1 : f x = x 3 , g x = 1 x , temos que então que f g x = x 2 , assim f g ' x = 2 x e f g ' ' ( x ) = 2 > 0 . Assim, f g é côncavo para cima.

Exemplo 2 : f x = 4 x x , g x = 1 x temos que então que f g x = 4 x , assim f g ' x = 2 x e f g ' ' x = - 1 x 3 < 0 . Assim, f g é côncavo para baixo.

Exemplo 3 : f x = x 2 , g x = 1 x temos que então que f g x = x , assim f g é linear.

Resposta

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Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.g) y = x 1 + x 2
Suponha que f ' ' x0 em a ,+ ∞ e que existe x 0a tal que f ' x 00 . Prove que lim x → + ∞ ⁡ f x = + ∞
Seja f derivável até a 2 ª ª ordem em R e tal que, para todo x , xf ' ' x + f ' x = 4 .a) Mostre que f ' ' é contínua em todo x ≠ 0 b) Mostre que f não admite ponto de inflexão horizontal
Seja f definida e derivável no intervalo aberto I , com 1 ∈ I , tal que f ' x = x 2 + f 2 xp a r at o d oxe mI f 1 = 1 a) Mostre que, para todo x em I , f ' ' x existe e que f ' ' é contínua em I b) M
Seja f x = x 5 + b x 4 + c x 3 - 2 x + 1 .a) Que condições b e c devem satisfazer para que 1 seja ponto de inflexão de f ? Justifique.b) Existem b e c que tornam 1 ponto de inflexão horizontal? Em cas