Enunciado

Nos problemas 21-32, encontre um operador diferencial que anule a função dada

8 x - s e n x + 10 c o s ⁡ ( 5 x )

Passo 1

E aíí meu jovem, vamos lá?

Nesse exercício, precisamos encontrar um operador diferencial que vai fazer a nossa função ser anulada, e pra isso vamos usar as regrinhas que vimos nessa seção do seu livro.

Então por exemplo, o operador D ³ anula a função x ² , pois

D 3 x 2 = 0

Então, vamos lá?

Passo 2

Temos a função 8 x - s e n x + 10 c o s ⁡ ( 5 x )

No primeiro termo 8 x , temos uma função puramente polinomial. Então vamos usar a tática (2) dessa seção do seu livro, que diz que dado um polinômio de grau n - 1 , o operador que vai anular vai ser D n

Então, o operador que anula o primeiro termo é D 2 , pois temos um polinômio de grau 1

No segundo termo temos uma função trigonométrica, então vamos usar a tática (5) do seu livro.

Ela fala que o operador [ D 2 - 2 α D + α 2 + β 2 n anula x n - 1 . e α x . s e n ⁡ ( β x )

No nosso caso, temos n = 1 , α = 0 e β = 1 , então, o operador que anula nosso segundo termo é

D 2 - 2.0 . D + 0 2 + 1 2 1

D 2 + 1

E no terceiro termo, também vamos usar que o operador [ D 2 - 2 α D + α 2 + β 2 n anula x n - 1 . e α x . c o s ⁡ ( β x )

Aqui temos n = 1 ,   α = 0 e β = 5 , então o operador que zera o terceiro termo é:

D 2 - 2.0 . D + 0 2 + 5 2 1

D 2 + 25

Então, o operador que anula nossa função como um todo é

D 2 . D 2 + 1 . D 2 + 25

Resposta

D 2 . D 2 + 1 . D 2 + 25

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