Enunciado

Neste exercício, consideramos a família de funções f x = 1 / x n , onde n é um inteiro positivo.

a) Faça o gráfico das funções y = 1 / x e y = 1 / x 3 , na mesma tela usando a janela retangular [ - 3 ,   3 ] por [ - 3 ,   3 ] .

b) Faça o gráfico das funções y = 1 / x 2 e y = 1 / x 4 na mesma tela usando a janela retangular dada na parte (a).

c) Faça o gráfico de todas as funções das partes (a) e (b) na mesma tela, usando a janela retangular [ - 1 ,   3 ] por [ - 1 ,   3 ] .

d) Que conclusões você pode tirar desses gráficos?

Passo 1

Fala aí, tud certinho com você?

Bom, essa questão pede pra gente considerar a família de funções

f x = 1 x n

Com n sendo um inteiro positivo, para obter algumas conclusões sobre seus gráficos.

E para isso, teremos que desenvolver 4 diferentes itens, sendo eles:

a) Fazer o gráfico das funções y = 1 / x e y = 1 / x 3 , na mesma tela usando a janela retangular [ - 3 ,   3 ] por [ - 3 ,   3 ] .

b) Fazer o gráfico das funções y = 1 / x 2 e y = 1 / x 4 na mesma tela usando a janela retangular dada na parte (a).

c) Fazer o gráfico de todas as funções das partes (a) e (b) na mesma tela, usando a janela retangular [ - 1 ,   3 ] por [ - 1 ,   3 ] .

d) Que conclusões você pode tirar desses gráficos?

Sendo assim, precisaremos fazer uma coisa de cada vez. Vem comigo que te ajudo passo a passo.

Passo 2

No item (a) devemos esboçar o gráfico das funções

y = 1 / x

e

y = 1 x 3

na janela [ - 3 ,   3 ] por [ - 3 ,   3 ] .

Mas o que isso significa?

As janelas que estamos falando aqui são regiões retangulares delimitadas pelos intervalos de x e y .

Neste caso, temos [ - 3 ,   3 ] por [ - 3 ,   3 ] . Isso significa que a lagura da janela começa em x = - 3 e vai até x = 3 , e a altura começa em y = - 3 e vai até y = 3 .

Assim, nosso esboço será:

Perceba que as funções y = 1 / x e y = 1 / x 3 estão em cores diferentes e n indica o expoente de x .

Assim, funções y = 1 / x é a que está em vermelho e y = 1 / x 3   é a que está em azul.

Passo 3

No item (b), devemos plotar as funções com n = 2 e n = 4 na mesma janela do item (a). Então já conhecemos o intervalo. Assim, teremos:

Passo 4

Por fim, no item (c), temos que plotar todas as funções na janela [ - 1 ,   3 ] por [ - 1 ,   3 ] .

Então mudando a janela, teremos:

Passo 5

Agora vamos observar tudo que fizemos até aqui pra responder item d).

Perceba que quando n é par, a função

f x = 1 / x n

é uma função par. Lembrando que a função par é definida por:

f - x = f x

Isso pode ser observado devida a sua simetria em relação ao eixo y .

Enquanto para n ímpar, a função será uma função ímpar. O que pode ser observado nos gráficos quando a função é rebatida em relação a origem. E sua definição é:

f - x = - f x

Além disso, vemos que a janela reduzida do item (c) não cobre bem os gráficos em toda sua extensão!

Resposta

a), b) e c) Esboço de gráfico.

d) Quando n é par, a função

f x = 1 / x n

é uma função par.

Enquanto para n ímpar, a função será uma função ímpar.

Além disso, vemos que a janela reduzida do item (c) não cobre bem os gráficos em toda sua extensão!

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