Enunciado

Nestes exercícios, dê as respostas com tantas casas decimais quantas forem permitidas por seu recurso computacional, mas siga o procedimento delineado na caixa Domínio da Tecnologia à página 298 .

Use um recurso gráfico computacional para determinar quantas soluções tem a equação e, então, use o Método de Newton para aproximar a solução que satisfaça a condição dada.

2 cos ⁡ x = x ;           x > 0

Passo 1

Vamos olhar no gráfico abaixo quantas soluções tem a equação:

No gráfico notamos que possui uma solução, vamos agora usar o Método de Newton para aproximar a solução que satisfaça x > 0 , vamos lá!!

Passo 2

Vamos agora aplicar o método de Newton, para isso vamos usar sua fórmula:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Vamos precisar de f ' x , vamos calcular então!!

Ah, e vamos usar a função como:

2 cos ⁡ x = x → 2 cos ⁡ x - x = 0

Passo 3

Para achar a derivada de f vamos usar duas regras de derivação, o da função trigonométrica e do polinômio:

cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

x n ' = n x n - 1

Vamos calcular f ' x :

f ' x = 2 cos ⁡ x - x ' = 2 - sen ⁡ x - 1 = - 2 sen ⁡ x - 1

Passo 4

Pronto, agora que temos f ' x é só jogar na fórmula de Newton:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n → x n + 1 = x n - 2 cos ⁡ x n - x n - 2 sen ⁡ x n - 1

Vamos agora analisar qual valor usar para x 1 , vamos usar x 1 = 2 , satisfazendo a condição de x > 0 , pronto, agora é só substituir, vamos lá então:

x 1 + 1 = x 2 = x 1 - 2 cos ⁡ x 1 - x 1 - 2 sen ⁡ x 1 - 1 = 2 - 2 cos ⁡ 2 - 2 - 2 sen ⁡ 2 - 1 ≈ 0,9951398409

Vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

x 2 + 1 = x 3 = x 2 - 2 cos ⁡ x 2 - x 2 - 2 sen ⁡ x 2 - 1 =

= 0,9951398409 - 2 cos ⁡ 0,9951398409 - 0,9951398409 - 2 sen ⁡ 0,9951398409 - 1 ≈ 1,0301073069

Mais uma vez, agora com x 4 :

x 3 + 1 = x 4 = x 3 - 2 cos ⁡ x 3 - x 3 - 2 sen ⁡ x 3 - 1 =

= 1,0301073069 - 2 cos ⁡ 1,0301073069 - 1,0301073069 - 2 sen ⁡ 1,0301073069 - 1 ≈ 1,0 298665403

Vamos lá, uma hora acaba, agora x 5 :

x 4 + 1 = x 5 = x 4 - 2 cos ⁡ x 4 - x 4 - 2 sen ⁡ x 4 - 1 =

= 1,0298665403 - 2 cos ⁡ 1,0298665403 - 1,0298665403 - 2 sen ⁡ 1,0298665403 - 1 ≈ 1,0298665 293

Vamos achar x 6 :

x 5 + 1 = x 6 = x 5 - 2 cos ⁡ x 5 - x 5 - 2 sen ⁡ x 5 - 1 =

= 1,0298665293 - 2 cos ⁡ 1,0298665293 - 1,0298665293 - 2 sen ⁡ 1,0298665293 - 1 ≈ 1,0298665293

Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é 1,0298665293 .

Resposta

A raiz é 1,0298665293 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva. y = x x 2 + 9
Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva. y = 2 - 15 x + 9 x 2 - x 3
Use os guias desta seção para traçar a curva. y = 1 + 1 x + 1 x 2
Use os guias desta seção para traçar a curva. y = ( x - 4 ) x 3
Use os guias desta seção para traçar a curva. y = 1 x 2 - 4