Enunciado

Use os guias desta seção para traçar a curva.

y = ((x - 1)^2)/(x^2 + 1)

Passo 1

Bom pessoal, nesta seção nos é dado um guia para seguir que ajuda a traçar a curva de uma função. Vamos segui-lo:

  1. O domínio da função será os reais menos os pontos em que o denominador é igual a zero. Como o denominador é sempre maior que zero.
  2. D = I R

  3. Descobrir as interceptações da curva nos eixos y e x. Para x = 0, temos y = 1 . Para y = 0 , t e m o s :
  4. 0 = ((x - 1)^2)/(x^2 + 1)

    Logo, a raiz é x = 1 .

  5. Checando simetria:
  6. f (- x) != f (x) -> ((- x - 1)^2)/(x^2 + 1) != ((x - 1)^2)/(x^2 + 1)

    f (- x) != - f (x) -> ((- x - 1)^2)/(x^2 + 1) != - ((x - 1)^2)/(x^2 + 1)

    Portanto, não há simetria na função.

  7. Para encontrar assíntotas, temos que checar a existência de limites.
  8. Assíntotas Horizontais:

    underset(x -> oo)(lim) f ( x ) = L

    underset(x -> - oo)(lim) f ( x ) = L

    Vamos lá:

    underset(x -> oo)(lim) ((x - 1)^2)/(x^2 + 1) = (oo)/(oo)

    underset(x -> - oo)(lim) ((x - 1)^2)/(x^2 + 1) = (oo)/(oo)

    Como temos uma indeterminação, devemos aplicar a regra de l’Hopital (derivar em cima e embaixo):

    underset(x -> oo)(lim) (2 x)/(2 x) = 1

    underset(x -> - oo)(lim) (2 x)/(2 x) = 1

    Logo, em y = 1 temos assíntotas horizontais.

    Não temos assíntotas Verticais pois o denominador nunca será zero.

  9. Intervalos crescentes e decrescentes. Temos que analisar a primeira derivada da função, onde:
  10. f^' (x) > 0 -> c r e s c e n t e

    f^' (x) < 0 -> d e c r e s c e n t e

    Vamos lá:

    f^' (x) = (2 (x^2 - 1))/((x^2 + 1)^2)

    Crescente:

    f^' (x) > 0 -> (2 (x^2 - 1))/((x^2 + 1)^2) > 0

    f^' (x) > 0 -> x in (- oo , - 1) e (1 , oo)

    Decrescente:

    f^' (x) < 0 -> (2 (x^2 - 1))/((x^2 + 1)^2) < 0

    f^' (x) < 0 -> x in (- 1,1)

  11. Pontos de máximos e mínimos. Para encontrar estes pontos, temos que conhecer as raízes de f^(' (x)) e avaliar se há troca de sinal de f^' (x) . Ou então avaliar o sinal da segunda derivada f^(' ') (x) nas raízes de f^' (x) .
  12. S e f^' (c) = 0 e f^(' ') (c) > 0 -> e n t ã o c é p o n t o d e m í n i m o

    S e f^' (c) = 0 e f^(' ') (c) < 0 -> e n t ã o c é p o n t o d e m á x i m o

    Vamos lá:

    f^(' ') (x) = - (4 x (x^2 - 3))/((x^2 + 1)^3)

    Nas raízes de f^' (x) -> x = +- 1 :

    f^(' ') (- 1) = - 1 -> p o n t o d e m á x i m o

    f^(' ') (1) = 1 -> p o n t o d e m í n i m o

    Voltando na equação original de f(x):

    f (- 1) = 2

    f (1) = 0

  13. Para analisar a concavidade da função e achar seus intervalos, devemos usar a segunda derivada da função.

f^(' ') (x) > 0 -> c o n c a v i d a d e p a r a c i m a

f^(' ') (x) < 0 -> c o n c a v i d a d e p a r a b a i x o

Pontos de inflexão ocorrem na mudança de concavidade.

f^(' ') (x) = - (4 x (x^2 - 3))/((x^2 + 1)^3)

- 4 x (x^2 - 3) > 0

- 4 x (x - sqrt(3)) (x + sqrt(3)) > 0

f^(' ') (x) > 0 -> x in (- oo , - sqrt(3)) e (0 , sqrt(3))

- 4 x (x - sqrt(3)) (x + sqrt(3)) < 0

f^(' ') (x) < 0 -> x in (- sqrt(3) , 0) e (sqrt(3) , oo)

Logo, os intervalos são:

C o n c a v i d a d e p a r a c i m a -> x in (- oo , - sqrt(3)) e (0 , sqrt(3))

C o n c a v i d a d e p a r a b a i x o -> x in (- sqrt(3) , 0) e (sqrt(3) , oo)

P o n t o s d e i n f l e x ã o -> x = +- sqrt(3) e 0

H.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Obtenha um gráfico da função racional dada e identifique as coordenadas dos pontos estacionários e de inflexão. Mostre as assíntotas horizontais e verticais e dê suas equações. Identifique (se houver)
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Em cada parte, faça um esboço aproximado do gráfico usando assíntotas e limites apropriados, mas não derivadas. Compare seu esboço ao gerado por um recurso gráfico computacional. y = 3 x 2 - 8 x 2 - 4
Em cada parte, faça um esboço aproximado do gráfico usando assíntotas e limites apropriados, mas não derivadas. Compare seu esboço ao gerado por um recurso gráfico computacional. y = 2 x - x 2 x 2 + x