Use os guias desta seção para traçar a curva.

y = (x - 1)^2 / (x^2 + 1)

Passo 1

Bom pessoal, nesta seção nos é dado um guia para seguir que ajuda a traçar a curva de uma função. Vamos segui-lo:

  1. O domínio da função será os reais menos os pontos em que o denominador é igual a zero. Como o denominador é sempre maior que zero.
  2. D = I R

  3. Descobrir as interceptações da curva nos eixos y e x. Para x = 0, temos y = 1 . Para y = 0 ,   t e m o s :
  4. 0 = x - 1 2 x 2 + 1

    Logo, a raiz é x = 1 .

  5. Checando simetria:
  6. f - x ≠ f x → - x - 1 2 x 2 + 1 ≠ x - 1 2 x 2 + 1

    f - x ≠ - f x → - x - 1 2 x 2 + 1 ≠ - x - 1 2 x 2 + 1

    Portanto, não há simetria na função.

  7. Para encontrar assíntotas, temos que checar a existência de limites.
  8. Assíntotas Horizontais:

    lim x → ∞ ⁡ f ( x ) = L

    lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = L

    Vamos lá:

    lim x → ∞ ⁡ x - 1 2 x 2 + 1 = ∞ ∞

    lim x → - ∞ ⁡ x - 1 2 x 2 + 1 = ∞ ∞

    Como temos uma indeterminação, devemos aplicar a regra de l’Hopital (derivar em cima e embaixo):

    lim x → ∞ ⁡ 2 x 2 x = 1

    lim x → - ∞ ⁡ 2 x 2 x = 1

    Logo, em y = 1 temos assíntotas horizontais.

    Não temos assíntotas Verticais pois o denominador nunca será zero.

  9. Intervalos crescentes e decrescentes. Temos que analisar a primeira derivada da função, onde:
  10. f ' x > 0 → c r e s c e n t e

    f ' x < 0 → d e c r e s c e n t e

    Vamos lá:

    f ' x = 2 x 2 - 1 x 2 + 1 2

    Crescente:

    f ' x > 0 → 2 x 2 - 1 x 2 + 1 2 > 0

    f ' x > 0 → x   ∈ - ∞ ,   - 1   e   1 ,   ∞  

    Decrescente:

    f ' x < 0 → 2 x 2 - 1 x 2 + 1 2 < 0

    f ' x < 0 → x   ∈ - 1,1    

  11. Pontos de máximos e mínimos. Para encontrar estes pontos, temos que conhecer as raízes de f ' x e avaliar se há troca de sinal de f ' x .   Ou então avaliar o sinal da segunda derivada f ' ' x nas raízes de f ' x .
  12. S e   f ' c = 0   e   f ' ' c > 0 → e n t ã o   c   é   p o n t o   d e   m í n i m o

    S e   f ' c = 0   e   f ' ' c < 0 → e n t ã o   c   é   p o n t o   d e   m á x i m o

    Vamos lá:

    f ' ' x = - 4 x x 2 - 3 x 2 + 1 3

    Nas raízes de f ' x → x = ± 1 :

    f ' ' - 1 = - 1 → p o n t o   d e   m á x i m o

    f ' ' 1 = 1 → p o n t o   d e   m í n i m o

    Voltando na equação original de f(x):

    f - 1 = 2

    f 1 = 0

  13. Para analisar a concavidade da função e achar seus intervalos, devemos usar a segunda derivada da função.

f ' ' x > 0 → c o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a

f ' ' x < 0 → c o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o

Pontos de inflexão ocorrem na mudança de concavidade.

f ' ' x = - 4 x x 2 - 3 x 2 + 1 3

- 4 x x 2 - 3 > 0

- 4 x x - 3 x + 3 > 0

f ' ' x > 0 → x   ∈ - ∞ , - 3   e   0 , 3

- 4 x x - 3 x + 3 < 0

f ' ' x < 0 → x   ∈ - 3 , 0   e   3 ,   ∞

Logo, os intervalos são:

C o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a → x   ∈ - ∞ , - 3   e   0 , 3

C o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o → x   ∈ - 3 , 0   e   3 ,   ∞

P o n t o s   d e   i n f l e x ã o → x = ± 3   e   0

H.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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