Enunciado

Em quais números a seguinte função g é derivável?

g x = 2 x ,         s e   x ≤ 0 2 x - x 2 ,   s e   0 ≤ x < 2 2 - x ,           s e   x ≥ 2  

Dê uma fórmula para g ' e esboce os gráficos de g   e   g ' .

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão! O enunciado nos dá:

g x = 2 x ,         s e   x ≤ 0 2 x - x 2 ,   s e   0 ≤ x < 2 2 - x ,           s e   x ≥ 2  

E pergunta em quais pontos g é diferenciável! Percebe que g ( x ) é uma função dividida em 3   partes e dentro de todas elas temos polinômios que sozinhos seriam contínuos pra todo x . O problema é na hora de “colar” um polinômio no outro!

Então são esses pontos que vamos investigar, x = 0 e x = 2 . Para isso a gente vai calcular a derivada de g ( x ) nesses pontos usando a definição de derivada:

lim h → 0 ⁡ f a + h - f ( a ) h

Só que aqui vamos aproximar h de zero pela direita e pela esquerda. Se os limites laterais forem iguais, então a nossa função é derivável nesses pontos caso contrário ela não é!

Bora colocar a mão na massa!

Passo 2

Bora começar com x = 0 , a esquerda temos:

g x = 2 x

Vamos calcular as derivadas pela definição:

lim h → 0 - ⁡ 2 x + h - 2 x h = l i m h → 0 - 2 h h = 2  

g ' 0 - = 2

Agora temos pela direita:

g x = 2 x - x 2

Portanto:

lim h → 0 + ⁡ 2 x + h - x + h 2 - 2 x - x 2 h = l i m h → 0 + 2 h - 2 x h h

= l i m h → 0 + h ( 2 + x ) h = l i m h → 0 + 2 - x

Portanto:

g ' 0 + = 2 - x = 2

Os valores coincidiram, então a função é derivável em x = 0 .

Passo 3

Vamos ver agora pra x = 2 . Pela esquerda temos:

g x = 2 x - x 2

Assim:

l i m h → 0 - 2 - x

g ' 2 - = 2 - 2 = 0

Pela direita de x = 2 temos:

g x = 2 - x

Portanto:

lim h → 0 + ⁡ 2 - x + h - 2 - x h = lim h → 0 + ⁡ - h h = - 1

g ' 2 + = - 1

Os valores deram diferentes, então a função não é derivável em x = 2 , então a função g x   é derivável para todos os valores, exceto o x = 2 .

Passo 4

Temos que:

g ' x =   2 ,       s e   x ≤ 0 2 - 2 x ,   s e   0 < x < 2 - 1 ,   s e   x > 2

Agora é só esboçar os gráficos:

Resposta

A função g x   é derivável para todos os valores, exceto o x = 2 .

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Nos exercicos de 1 a 20, faça o seguinte: (a) Trace um esboço gráfico da função; (b) determine se f é continua em x 1 ; (c) calcule f ’ - ( x 1 ) e f ’ + ( x 1 ) , se existirem; (d) determine se f é d
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