Enunciado

Mostre que

(d)/(d x) (arctan ( tanh x) = sech 2 x

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente mostrar que a derivada do arco tangente da tangente hiperbólica de x é igual a secante hiperbólica de 2 x .

Calma, vamos pensar juntos. A derivada do arco tangente de x é tabelada, olha só:

(arctan x)^' = (1)/(1 + x^2)

E a derivada da tangente hiperbólica também é conhecida, lembra dela? Olha aqui:

(tanh x)^' = sech^2 x

Tá, ainda não é nossa função. Mas dá pra chegar nela a partir desses resultados, derivando a nossa função através da Regra da Cadeia (onde a gente calcular a derivada da função de fora aplicada na função de dentro, vezes a derivada da função de dentro). E é isso que nós vamos fazer.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando a nossa função de fora, que é o arco tangente. O resultado é o mesmo do passo 1 , só que invés de x , o argumento da nossa função é tanh x . Aí fica assim:

f^' (x) = (1)/(1 + tanh^2 x) (t g h x)^'

Essa é a derivada da fora aplicada na função de dentro. Agora falta derivar a função de dentro, que é tanh x . Nós vimos no passo 1 que essa derivada é sech^2 x . Então, vai ficar assim:

f^' (x) = (1)/(1 + tanh^2 x) ( sech^2 x )

Passo 3

Agora vamos tentar chegar em sech 2 x manipulando um pouco nosso resultado. Pra isso, vamos substituir as identidades tanh x = (sinh x)/(cosh x) e sech x = (1)/(cosh x) . Olha só:

f^' (x) = ((1)/(cosh^2 x))/(1 + (sinh^2 x)/(cosh^2 x))

Fazendo a divisão de frações:

f^' (x) = (1)/(cosh^2 x) ((cosh^2 x)/((cosh^2 x + sinh^2 x)))

Simplificando:

f^' (x) = (1)/(cosh^2 x + sinh^2 x)

Agora usando a identidade trigonométrica: cosh^2 x + sinh^2 x = cosh 2 x , vamos ter:

f^' (x) = (1)/(cosh 2 x)

E como (1)/(cosh 2 x) = sech 2 x , temos:

f^' (x) = sech 2 x

Como queríamos demonstrar.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o n o s p a s s o s

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