Mostre que

d/dx(arctan(tanh(x))) = sech(2x)

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente mostrar que a derivada do arco tangente da tangente hiperbólica de x é igual a secante hiperbólica de 2 x .

Calma, vamos pensar juntos. A derivada do arco tangente de x é tabelada, olha só:

arctan ⁡ x ' = 1 1 + x 2

E a derivada da tangente hiperbólica também é conhecida, lembra dela? Olha aqui:

tanh ⁡ x ' = sech 2 ⁡ x

Tá, ainda não é nossa função. Mas dá pra chegar nela a partir desses resultados, derivando a nossa função através da Regra da Cadeia (onde a gente calcular a derivada da função de fora aplicada na função de dentro, vezes a derivada da função de dentro). E é isso que nós vamos fazer.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando a nossa função de fora, que é o arco tangente. O resultado é o mesmo do passo 1 , só que invés de x , o argumento da nossa função é tanh ⁡ x . Aí fica assim:

f ' x = 1 1 + tanh 2 ⁡ x t g h   x '

Essa é a derivada da fora aplicada na função de dentro. Agora falta derivar a função de dentro, que é tanh ⁡ x . Nós vimos no passo 1 que essa derivada é sech 2 ⁡ x . Então, vai ficar assim:

f ' x = 1 1 + tanh 2 ⁡ x ( sech 2 ⁡ x )

Passo 3

Agora vamos tentar chegar em sech ⁡ 2 x manipulando um pouco nosso resultado. Pra isso, vamos substituir as identidades tanh ⁡ x = sinh ⁡ x cosh ⁡ x e sech ⁡ x = 1 cosh ⁡ x . Olha só:

f ' x = 1 cosh 2 ⁡ x 1 + sinh 2 ⁡ x cosh 2 ⁡ x

Fazendo a divisão de frações:

f ' x = 1 cosh 2 ⁡ x cosh 2 ⁡ x cosh 2 ⁡ x + sinh 2 ⁡ x    

Simplificando:

f ' x = 1 cosh 2 ⁡ x + sinh 2 ⁡ x

Agora usando a identidade trigonométrica: cosh 2 ⁡ x + sinh 2 ⁡ x = cosh ⁡ 2 x , vamos ter:

f ' x = 1 cosh ⁡ 2 x

E como 1 cosh ⁡ 2 x = sech ⁡ 2 x , temos:

f ' x = sech ⁡ 2 x

Como queríamos demonstrar.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o   n o s   p a s s o s

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