Enunciado

A cadeia Mega Motel, com capacidade de 800 quartos, fica lotada quando o custo do quarto é de $   50 por noite. Para cada aumento de $   10 no custo do quarto, 40 quartos a menos ficam ocupados a cada noite. Que custo por apartamento resultará na receita máxima por noite?

Passo 1

Então galera, antes de pensarmos em receita máxima e afins, devemos estabelecer uma função para o custo por apartamento, ok? Vamos chamar de x o aumento de $   10 no custo do quarto. Ademais, temos que o preço por noite, segundo o enunciado, é $   50 . O primeiro termo da nossa equação é ( 50 + 10 x ) . No entanto, o número de quartos preenchidos a cada noite pode ser dado por ( 800 - 40 x ) . Escrevendo a expressão, teremos:

C x = ( 50 + 10 x ) ( 800 - 40 x )

C x = 800.50 - 50.40 x + 10 x . 800 - 40 x . 10 x

∴ C x = - 400 x 2 + 6000 x + 40000

Passo 2

Agora que encontramos uma expressão para o custo, para determinarmos uma receita máxima, devemos derivar essa função e igualar a zero para achar pontos críticos na função, saca só:

C ' x = - 800 x + 6000

- 800 x + 6000 = 0 ⇒ 6000 = 800 x

∴ x = 15 2

Para conferirmos se esse ponto de fato é um máximo, temos que utilizar a derivada segunda. Se o resultado da derivada segunda nesse ponto der positivo, então isso significa que é um ponto de mínimo (que não nos interessa). No entanto, se der negativo, então isso significa que é um ponto de máximo (que é o que nos interessa). Dessa forma, temos o seguinte:

C ' ' x = - 800

C ' ' 15 2 = - 800

Como deu um valor negativo nesse ponto, então realmente esse valor é um ponto de máximo! Portanto, o custo por apartamento resultará em:

50 + 10.15 2 = $   125

Resposta

C m á x i m o = $   125

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