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Solucionário completo

Exercícios Resolvidos de Cálculo Volume 2 8ª Edição - James Stewart

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 8ª Edição - James Stewart - 10.6 - 25

A órbita de Marte em torno do Sol é uma elipse com excentricidade 0,093 e semieixo maior 2,28   .   10 8   k m . Encontre uma equação polar da órbita.

Passo 1

Oi, pessoal! Aqui a gente tem que encontrar uma equação polar pra órbita de Marte. Poderíamos, usar, por exemplo:

r = e d 1 + e cos ⁡ θ

Uma dica pra esse tipo de problema é que você não precisa se preocupar se usa o sinal + ou - , s e n   θ ou cos ⁡ θ na fórmula, pois não estamos preocupados em saber exatamente onde está a reta diretriz. Usar uma versão diferente dessa fórmula apenas mudaria a posição da elipse no plano, não seu formato ou proporções, que é o que realmente nos interessa quando vamos descrever a órbita de um planeta.

Mas aí tem um problema, não sabemos o valor de d . Precisamos descobrir quem é d a partir dos dados que o enunciado nos deu: a excentricidade e e o semieixo maior a , beleza?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Lembra dessa fórmula?

a 2 = e 2 d 2 1 - e 2 2

Podemos usá-la pra obter o valor de d , olha só:

a 2 1 - e 2 2 = e 2 d 2

d 2 = a 2 1 - e 2 2 e 2

d = a 1 - e 2 e

Passo 3

Agora que obtemos d em função apenas de e e a , podemos jogar isso na equação:

r = e d 1 + e cos ⁡ θ

r = e 1 + e cos ⁡ θ a 1 - e 2 e

r = a 1 - e 2 1 + e cos ⁡ θ

Beleza! Agora é só substituir e = 0,093 e a = 2,28   .   10 8 :

r = 2,28   .   10 8   1 - 0,093 2 1 + 0,093 cos ⁡ θ

r = 2,26   .   10 8 1 + 0,093 cos ⁡ θ

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Resposta

r = 2,26   .   10 8 1 + 0,093 cos ⁡ θ

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