Enunciado

Resolva as equações diferenciais

(e^y - 1) y^' = 2 + cos x

Passo 1

Esse é um dos meus métodos favoritos para resolver equações diferenciais. É um dos mais rápidos. Se você não está acostumado fica tranquilo, vou fazer passo – a – passo para você ver. Temos então:

(e^y - 1) y^' = 2 + cos x

O que vamos fazer agora é separar as variáveis. Tudo que for x vai para um lado, tudo que for y vai para o outro. Além disso, vamos usar a notação de diferencial. Ou seja, vamos trocar

y^' -> (d y)/(d x)

Beleza? Vamos la !

(e^y - 1) (d y)/(d x) = 2 + cos x

(e^y - 1) d y = ( 2 + cos x ) d x

Belezinha. Nossa equação está arrumada. Já podemos passar para o próximo passo!

Passo 2

Agora vamos integrar dos dois lados

int e^y - 1 d y = int 2 + cos x d x

Vamos separar essas integrais

int e^y d y - int 1 d y = int 2 d x + int cos x d x

A função e^y é cíclica. Ela é a integral de si mesma. Então não nos causará nenhum problema.

e^y - y = 2 x + sin x + C

Estamos fazendo integrais indefinidas, então temos que adicionar uma constante qualquer C.

Essa função não pode ser exposta de forma que y fique explicito. Então terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

e^y - y = 2 x + sin x + C

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