Enunciado

Encontre todos os valores de x nos quais a reta tangente à curva dada satisfaz a propriedade enunciada.

y = x 2 + 1 x + 1 ; paralela à reta y = x .

Passo 1

Para que a reta tangente à curva seja paralela à reta y = x , seu coeficiente angular deve ser igual ao coeficiente angular da reta, certo? No caso, o coeficiente deve ser 1 .

Como o coeficiente angular da reta tangente à curva é a derivada da mesma curva, temos que a derivada de y é 1 . Então, vamos achar todos os valores de x em que a derivada de y seja 1 !

Passo 2

Temos que:

y = x 2 + 1 x + 1

Derivando, pela regra do quociente:

y ' = x 2 + 1 ' ( x + 1 ) - ( x 2 + 1 ) x + 1 ' x + 1 2

y ' = ( 2 x ) ( x + 1 ) - ( x 2 + 1 ) ( 1 ) x + 1 2

y ' = 2 x 2 + 2 x - x 2 - 1 x + 1 2

y ' = x 2 + 2 x - 1 x + 1 2

Show, agora temos a derivada de y .

Passo 3

Para quais valores de x a derivada da função será 1 ? Nós temos que:

y ' = x 2 + 2 x - 1 x + 1 2

Olhando com cuidado, vemos de cara que x ≠ - 1 , pois se fosse 1 zeraria o denominador e não queremos isso.

Olhando de novo, temos que igualar a derivada a 1 ! Logo:

x 2 + 2 x - 1 x + 1 2 = 1

x 2 + 2 x - 1 = x + 1 2

x 2 + 2 x - 1 = x 2 + 2 x + 1

Com isso:

- 1 = 1

Meu Deus, mas o que isso quer dizer? Que deu ruim? kkk

Como - 1 nunca será igual a 1 , isso quer dizer que não temos valores para x em que a reta tangente à curva nesse ponto seja paralela à reta y = x .

Resposta

Nenhum.

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