6. Utilizando o Exercício 5, calcule.

f )   ∫ x + 1 x 2 - x - 2 d x

Passo 1

Vemos que a função na nossa integral não é parecida com a fórmula do exercício 5. Logo, para melhorar vamos usar o conceito que diz que se α e   β são raízes da equação a x 2 + b x + c = 0 , então a x 2 + b x + c = a ( x - α ) ( x - β ) . Ou seja, descobrindo as raízes da equação no denominador, podemos fatorar o mesmo. Nesse caso, por meio de Bhaskara, obtemos as raízes x = 2 e x = - 1 . Dessa forma,

∫ x + 1 x 2 - x - 2 d x =   ∫ x + 1 ( x - 2 ) ( x - - 1 ) d x = ∫ x + 1 ( x - 2 ) ( x + 1 ) d x =   ∫ 1 ( x - 2 ) d x

Passo 2

Resolvendo a integral, fazendo

u = x - 2   ⟹ d u = d x

Substituindo na integral

∫ 1 x - 2 d x = ∫ 1 x - 2 d x = ∫ 1 u d u = ln ⁡ u + k = ln ⁡ x - 2 + k

Resposta

Portanto,

  ∫ x + 1 x 2 - x - 2 d x =   ln ⁡ x - 2 + k

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