e) ∫ - 1 0 x 2 e x 3   d x  

Passo 1

A motivação nessa questão será fazer uma substituição de variável. Nesse caso é interessante pegar x 3 porque quando você derivar fica 3 x 2   d x e esse x 2   d x   tá lá esperando.

u =   x 3   ( * )

Derivando,

d u =   3 x 2   d x

Não esquece: Se fizemos uma substituição, então temos que mudar os limites de integração!!!

Passo 2

Agora vamos arrumar a casa!

Primeiramente, temos que mudar os limites de integração usando ( * )

x = - 1 → u = - 1 3 =   - 1   x = 0 → u = 0 3 = 0

Repara que quando derivamos apareceu que   d u =   3 x 2   d x   que é basicamente   d u 3 = x 2   d x

Nossa integral era:

∫ - 1 0 x 2 e x 3   d x =   ∫ - 1 0 e x 3   x 2   d x    

Mudando pra u :

    ∫ - 1 0 e u d u 3 =     1 3 ⋅ ∫ - 1 0 e u   d u    

Repare que os limites ficaram iguais, mas foi só coincidência em!

Não esquece: ∫ e x d x   = e x +   C

Passo 3

Agora é só terminar!

1 3 ⋅ ∫ - 1 0 e u   d u = 1 3 ⋅ e u ​ - 1 0 =     1 3 ⋅ e 0 - e - 1 = e - 1 3 e    

Resposta

e - 1 3 e

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