Enunciado

Uma partícula se move ao longo de uma curva plana com velocidade escalar constante 5 . No instante t = 0 ela está na origem V 0 = 0 ,   5 e nunca se move à esquerda do eixo y . Em cada instante t a curvatura da curva é k t = 2 t . Se α t denota o ângulo que o vetor velocidade faz com o eixo positivo dos x em cada instante t , determine:

a   α t explicitamente como função de t .

b O vetor velocidade V t .

Passo 1

Agora, queremos determinar o vetor velocidade, mas como fazer isso sem uma equação do vetor posição? Bem, vamos usar as informações que temos pra ajudar nessa resolução.

Usando o valor da velocidade escalar e lembrando que ela é dada pelo módulo do vetor velocidade, temos:

v = V t = x ' t 2 + y ' t 2 = 5

Podemos reescrever como:

x ' t 2 + y ' t 2 = 25

Por conta desse resultado, temos que achar funções de t cuja soma do quadrado das derivadas resulte nessa constante.

Passo 2

Visto que o vetor velocidade varia com um ângulo (que vem da variação da curvatura dada por Δ θ = 5 t 2 ), vamos supor que os vetores dependem das funções trigonométricas seno e cosseno. Além disso, com o valor:

V 0 = 0 ,   5

Podemos dizer que a coordenada x ' t do vetor velocidade tem a função seno, pois a s e n Δ θ = a s e n 0 = 0 . Da mesma forma, a coordenada y ' t tem a função cosseno e é dada por:

a cos ⁡ ( Δ θ ) = 5

Como em t = 0 Δ θ = 0 , então:

a cos ⁡ 0 = 5

Logo:

a = 5

Passo 3

Portanto, concluímos que o vetor velocidade será dado por:

V t = a s e n Δ θ ,   a cos ⁡ Δ θ

E substituindo os valores que temos:

V t = 5 s e n 5 t 2 ,   5 cos ⁡ 5 t 2

Resposta

V t = 5 s e n 5 t 2 ,   5 cos ⁡ 5 t 2

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