Enunciado

dois vetores tangentes unitários à trajetória de partícula em t   =   t 1 . Trace um esboço da trajetória da partícula e represente geometricamente os vetores V t 1 e A t 1 .

Passo 1

Dada da função vetorial da posição

σ t = cos ⁡ t ,   s e n   t ,   2

e

t 1 = π 2

Podemos encontrar a velocidade e aceleração a partir da função vetorial da posição aplicando derivadas. Olha:

σ t = cos ⁡ t ,   s e n   t ,   2

σ ' t = V t = - s e n   t , cos ⁡ t , 0

σ ' ' t = A t = - cos ⁡ t ,   - s e n   t ,   0

Passo 2

Pra encontrar um vetor tangente à trajetória, a gente pode derivar nosso vetor posição fornecido pelo enunciado. Mas repara que a derivada da posição em função do tempo é a própria velocidade. Então, temos que

σ ' t = V t g t = - s e n   t , cos ⁡ t , 0

e aplicado no ponto t1, temos que

V t g π 2 = - s e n   π 2 , cos ⁡ π 2 , 0

V t g π 2 = - 1,0 , 0

Então, o vetor

- 1,0 , 0

é um vetor tangente à trajetória. Mas calma!! O enunciado pede vetores que sejam tangentes e unitários… Pra gente fazer um vetor se tornar um vetor unitário, a gente pode dividi-lo pelo seu próprio módulo. Assim:

- 1,0 , 0 - 1 2 + 0 2 + 0 2 = - 1,0 , 0 1 = - 1,0 , 0

E, NESSE CASO, o nosso vetor já era unitário antes, e por isso não mudou nada depois de dividir pelo módulo. Mas esse foi um caso especial, ok?! Mas o enunciado pede dois vetores tangentes unitários… Mas pra gente achar outro, podemos malandramente multiplicar esse por -1.

V t g 1 = - 1,0 , 0

V t g 2 = V t g 1 ⋅ - 1 = 1,0 , 0

Pronto! Agora temos dois vetores tangentes unitários à trajetória. São eles:

- 1,0 , 0 ,   1,0 , 0

Passo 3

Agora bora esboçar a trajetória da partícula. A função vetorial da trajetória é essa aqui:

σ t = cos ⁡ t ,   s e n   t ,   2

e talvez você lembre da relação fundamental da trigonometria:

cos 2 ⁡ t + s e n 2 t = 1

e isso se parece muito com a equação da circunferência, né?

x 2 + y 2 = r 2

Então a gente pode concluir que no plano XY, o movimento da partícula é circular. Além disso, também sabemos que z = 2, uma constante. Então, nosso esboço fica assim:

Agora só falta a gente representar geometricamente os vetores V t 1 e A t 1 nesse esboço.A partícula tá sendo representada pelo objeto A ali!

Passo 4

Os vetores V ( t ) e A ( t ) são:

σ t = cos ⁡ t ,   s e n   t ,   2

σ ' t = V t = - s e n   t , cos ⁡ t , 0

σ ' ' t = A t = - cos ⁡ t ,   - s e n   t ,   0

Aplicando em t 1 :

V t 1 = - 1,0 , 0

A t 1 = 0 , - 1,0

E juntando-os ao nosso lindo esboço, fica assim

Onde a seta verde e vermelha representam, respectivamente, os vetores A(t1) e V(t1).

Resposta

- 1,0 , 0 ,   1,0 , 0

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