Enunciado

Nos exercícios de 1 a 6 , σ t denota o vetor posição de uma partícula se movendo, em cada instante t . Em cada caso, determine:

3)   σ t = e 2 t , t 2 ,                     t 1 = 0

d) dois vetores tangentes unitários à trajetória da partícula em t = t 1 . Trace um esboço da trajetória da partícula e represente geometricamente os vetores V t 1 e A t 1

Passo 1

Pô galera, todo vetor velocidade é tangente ao vetor posição em qualquer instante de tempo. Quer vetor tangente? Vamos então fazer:

V t 1 = σ ' t 1

Que nesse caso será:

σ t = e 2 t , t 2

σ ' t = 2 e 2 t , 2 t

Aplicando t 1 , temos:

V 0 = σ ' 0 = 2 e 0 , 0 = 2,0

E veja só, o vetor - V 0 é um vetor com mesma direção do vetor V 0 mas sentidos opostos. Isso na prática quer dizer que ele também é um vetor tangente! Dois vetores tangentes então são:

v t 1 = V 0 = 2,0

v t 2 = - V 0 = - 2,0

Mas como queremos vetores unitários, temos que dividir ambos pelo módulo de cada um! Por sorte só vamos precisar calcular uma vez já que o módulo deles é igual:

v t 1 = 2 2 + 0 2 = 2

Os vetores unitários serão então:

v t 1 u = v t 1 v t 1 = 2 , 0 2 = 1 , 0

v t 2 u = v t 2 v t 1 = - 2,0 2 = - 1 , 0

Passo 2

Pra fazer um esboço da trajetória a melhor forma é manipular a parametrização pra sair uma equação cartesiana. Veja que nela, temos:

x = e 2 t y = t 2

O que é o mesmo que:

ln ⁡ x = 2 t y = t 2

ln ⁡ x 2 = t y = t 2

Jogando a primeira equação dentro da segunda:

y = 1 4 ln 2 ⁡ x

Pra esboçar esse carinha basta esboçar uma curva de ln ⁡ x mesmo porque pra nível de esboço ln 2 ⁡ x e ln ⁡ x não mudam taaaanto assim:

Resposta

v t 1 u = 1,0

v t 2 u = - 1 , 0

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