Enunciado

Nos exercícios de 1 a 6 , σ t denota o vetor posição de uma partícula se movendo, em cada instante t . Em cada caso, determine:

2)   σ t = cos ⁡ 2 t , - 3 sen ⁡ t ,                     t 1 = π

d) dois vetores tangentes unitários à trajetória da partícula em t = t 1 . Trace um esboço da trajetória da partícula e represente geometricamente os vetores V t 1 e A t 1

Passo 1

Pô galera, todo vetor velocidade é tangente ao vetor posição em qualquer instante de tempo. Quer vetor tangente? Vamos então fazer:

V t 1 = σ ' t 1

Que nesse caso será:

σ t = cos ⁡ 2 t , - 3 sen ⁡ t

σ ' t = - 2 s en ⁡ 2 t , - 3 cos ⁡ t

Aplicando t 1 , temos:

V π = σ ' π = - 2 sen ⁡ 2 π , - 3 cos ⁡ π = 0,3

E veja só, o vetor - V π é um vetor com mesma direção do vetor V π mas sentidos opostos. Isso na prática quer dizer que ele também é um vetor tangente! Dois vetores tangentes então são:

v t 1 = V π = 0,3

v t 2 = - V π = 0 , - 3

Mas como queremos vetores unitários, temos que dividir ambos pelo módulo de cada um! Por sorte só vamos precisar calcular uma vez já que o módulo deles é igual:

v t 1 = 0 2 + 3 2 = 3

Os vetores unitários serão então:

v t 1 u = v t 1 v t 1 = 0,3 3 = 0 , 1

v t 2 u = v t 2 v t 1 = 0 , - 3 3 = 0 , - 1

Passo 2

Pra fazer um esboço da trajetória a melhor forma é manipular a parametrização pra sair uma equação cartesiana. Veja que nela, temos:

x = cos ⁡ 2 t y = - 3 sin ⁡ t

O que é o mesmo que:

x = 1 - 2 sin 2 ⁡ t y 2 = 9 sin 2 ⁡ t

1 - x 2 = sin 2 ⁡ t y 2 9 = sin 2 ⁡ t

Igualando as duas equações:

y 2 9 = 1 - x 2

x = - 2 9 y 2 + 1

Olhando bem pra essa equação, lembra uma equação de uma parábola, só que com o x e o y trocado de lado. Oras, só esboçar uma parábola deitada! Tá na mão:

Resposta

v t 1 u = 0,1

v t 2 u = 0 , - 1

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