Enunciado

Uma partícula move-se com aceleração a t   m / s 2 ao longo de um eixo s

e tem velocidade v 0   m / s no instante t = 0 . Encontre o deslocamento e a distância percorrida por ela durante os intervalos de tempo.

a t = s e n   t ,     v 0 = 1 ,     π 4   ≤ t ≤ π 2

Passo 1

Fala aí, tudo joia?

Nessa aqui a gente quer o deslocamento e a distância percorrida pela partícula. É o seguinte: pra calcular deslocamento, a gente faz:

∫ t 0 t 1 v t d t = s t 1 - s t 0

E pra distância, é o seguinte:

∫ t 0 t 1 v t   d t

Show! Bora trazer isso pros nossos casos agora...

Passo 2

Só que nesse caso a gente não tem a função v ( t ) 😫! E agora? Que que a gente faz?

Sorte a nossa que a gente sabe que:

v t = ∫ a t   d t

Então tá show! A gente descobre a função v ( t ) e depois joga naquelas outras lá.

v t = ∫ s e n   t   d t =   - cos ⁡ t + C

E pra achar o valor desse C aí, a gente usa v 0 = 1 :

v 0 =   - cos ⁡ 0 + C

- 1 + C = 1

C = 2

Problema resolvido: nossa função v t =   - cos ⁡ t + 2

Passo 3

Agora a gente descobre o deslocamento aqui:

d e s l o c a m e n t o = ∫ π 4 π 2 - cos ⁡ t + 2   d t

= - s e n   t + 2 t π 4 π 2

=   - s e n π 2 + 2 π 2 + s e n π 4 - 2 π 4

=   - 1 + π + 2 2 - π 2

= π 2 + 2 2 - 1

Esse é o deslocamento!

Passo 4

E agora a distância:

d i s t â n c i a = ∫ π 4 π 2 | - cos ⁡ t + 2 |   d t

Vamos ver o sinal da função:

- cos ⁡ t + 2 ≥ 0

- cos ⁡ t ≥ - 2

cos ⁡ t ≤ 2

Isso é válido para qualquer valor de t , porque a imagem de cos ⁡ t   é [ - 1,1 ] .

Então a integral vai ser a mesma ali de cima:

d i s t â n c i a =   ∫ π 4 π 2 - cos ⁡ t + 2   d t

Que já fizemos e deu π 2 + 2 2 - 1   m .

Resposta

Deslocamento= π 2 + 2 2 - 1   m

Distância =   π 2 + 2 2 - 1   m

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8. Prove a Segunda Lei dos Expoentes [veja (15)].
9. Prove a Quarta Lei dos Expoentes [veja (15)].
7. Prove a Terceira Lei dos Expoentes para e x [veja (11)].
Prove a segunda lei dos expoentes para e x [Veja (11)]
Com referência ao exemplo 1.Ache a sequência da reta tangente à curva y = 1 / t que é para paralela à reta secante A D . Use a parte ( a ) para mostrar que ln ⁡ 20,66 .